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Full text of "Leçons sur les séries à termes positifs professées au Collège de France. Recueillies et rédigées par Robert d'Adhémar"

Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/leonssurless01bore 




Q)LLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS, 

PUBLIER S0U8 LÀ DIRECTION OE M. KMILB BOREL. 



LEÇONS 



SUR LES 



SERIES A TERMES POSITIFS 



PROFESSÉES AU COLLÈGE DE FRANCE 



PAR 



Emile BOREL. 



RECUEILLIES ET RÉDIGÉES 



PAR 



Robert d^ADHÉMAR. 




PARIS, 
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DE l'observatoire DE PARIS BT DU BUABAU DBS LONGITUDBS, 
Quai des Grands-Augustins, 55. 

1902 



PRESENTED 



by 



PROF. W.J. WEBBER 



1976 




LEÇONS 



SUR LES 



SÉRIES A TERMES POSITIFS. 



DU MEME AUTEUH. 

Leçons sur la théorie des fonctions {Klémenls de la théorie des ensembles 
et applications) . Paris, Gaiitliiei-X'illars et fils, 1S98 3 fr. 5o. 

Nouvelles leçons sur la théorie des fonctions. — Leçons sur les fonctions 
entières. Paris, Gaulhicr-Villars, lyoo .5 fi'. ')o. 

Nouvelles leçons sur la t/téorie des fonctions. — Leçons sur les séries 
divergentes. Paris, (îauLliier-Villars, 1901 f\ ir. 5o. 



KN PREPARATION. 

Nouvelles leçons sur la théorie des fonctions. Leçons sur les fonctions 
méromorphes. 



NOUVKMliS I.KCONS SIK LA TIIKOKII'; DI-IS l'ONCTIONS. 



LKCONS 



SI H i,i:s 



SÉRIES A TERMES POSITIFS 



PUOFESSEES AU COLLÈ(iE \)\i l liAiNCE 



PA» 



Emile BOREL 



RECUEILLIES ET REDIGEES 



PAR 



KoBEKi d'ADHEMAK. 




PARIS, 
GAUTHIEK-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

l)i: l'oBSKIIV ATOI KK DU 1> A K I S KT I) L lUI lU: A II DKS L O N G I T U I) K S. 

Quai fies Grands-Auguslins, 55. 

1902 

(Tous droits réservés. [ 



UNIVERSITY OF TORONTO 
DEPT. OF MATHEMATiCS 



PRÉFACE. 



L%''tiule des séries à termes positifs, (|ui est l'objet de ces 
Leçons, est étroitement liée à la théorie de la croissance et, 
par là, se rattache à Jjien des problèmes de la plus <^rande 
importance en Analyse, et particulièrement dans hi Théorie 
des fonctions. Il a déjà été question de plusieurs de ces pro- 
blèmes dans mes Ouvrages antérieurs sur la Théorie des fonc- 
tions ; comme je Tai déjà indiqué, une théorie générale de 
la croissance devrait logiquement être l'introduction à toute 
étude d'Analyse; mais c'est seulement après avoir étudié 
séparément les diverses questions où la croissance intervient 
que l'on pourra tenter l'exposition complète de la théorie 
générale; les éléments de cette théorie sont esquissés dans le 
Chapitre JII de ces Leçons. 

Ce petit livre a été rédigé d'après vingt leçons que j'ai 
faites au Collège de 1^'rance en f9Oo-i()0i ('). J^'un de mes 
auditeurs, M. Kobert d'Adhemar, avait bien voulu me pro- 
poser de travailler à cette rédaction. 

Je tiens à le remercier très vivement de la peinç qu'il a 



(1) Cours iii>lilii('' par la loïKlatioii ( Claude- \ iiloinc l'cccol 



VI l'UKIACi;. 



prise, dos soins (juil v a donnés, et de la rapidité avec 
laqnelle il Ta terminée. 

Sur bien des points, il aurait été possible d'ajouter de 
nombreux compléments, car le sujet est extrêmement vaste; 
mais, en augmentant ainsi Tétendue de ces Tuerons, je leur 
aurais sans doute enlevé la forme si vivante (pi'a su leur 
donner M. d'Adhémar. J'ai préféré respecter sa rédaction et 
je suis convaincu que tous les lecteurs m'en sauront gré. 

Paris, le 17 novembre 1901. 






INDEX. 



CnAi», \. — GonverîTcnce des séries à termes eonstanls r 



S) 



CiiAP. II. — (lonvergeiice des inléj^rales 21 

CiiAP. III. • Esquisse d'une théorie de la croissance 3'2 

GiiAP. IV. — Séries et intégrales multiples 5 1 

GiiAP. V. — Séries de puissances à une variable 5y 

CiiAP. VI — Séries à plusieurs variables 80 

Table des matières 93 



LIT-ON s 



sim i.Ks 



SÉRIES A TERMES POSITIFS. 



CHAPITRE I. 



CONVERGENCE DUS SERIES A TERMES CONSTANTS. 



Généralités. 

Il sera presque exclusivement questiou, dans cet Ouvrage, de 
séries à lermes positifs; c'est dire que, lorsque nous parlerons de 
séries de puissances, non seulement les coefficients seront sup- 
posés positifs, mais aussi la ou les variables. 

Les séries à termes tous positifs forment une classe très impor- 
tante de séries qui peuvent être traitées par des méthodes spéciales. 
Quelques-uns des résultats établis, notamment ceux du Cha- 
pitre VI, ne s'étendraient certainement pas sans d'importantes 
modiOcations à des séries quelconques. 

Nous ferons d'abord une étude des critères de conversence et 
nous verrons ce qu'il faut penser de leur degré de généralité. 

L'on sait que l'on appelle critères de première espèce ceux qui 
ne font intervenir qu'f^/i terme, un seul indice : tel est le critère 
de Gauchj relatif à 

L'on appelle critères de seconde espèce ceux qui font intervenir 
deux termes : tel est le critère de d'Alembert relatif à 



Un 



B. 



ciiAPiraK I. 



Ces critères se déduisent de critères de première espèce, nous 
les laisserons d'abord décote comme étant moins jçénéraux. 

Il existe enfin des critères qui font intervenir une inJinUr 
d' indéterminées, par exemple le critère de Kummer, les critères 
de Paul du Bois-Reymond. 

Nous les laisserons aussi de côté, non point que nous les jugions 
inutiles, mais parce que ces critères sont, à proj)rement parler, 
des dé/initions transformées de la converg-encc et de la dlver- 
i^ence ( ' ). 

Nous nous occuperons donc exclusivement des critères de pre- 
mière espèce, voulant étudier les séries au point de vue des 
modes de croissance. 

II ne suffît pas de savoir si une série converge ou non, il est 
aussi im[)ortant de savoir avec quelle rapidité elle converge, 
c'est-à-dire quel est l'ordre infinitésimal de l'infiniment petit 

(S — S,J, 

n étant infiniment grand, S représentant la somme de la série, S„ 
représentant la somme des n premiers termes. 

Si la série diverge, il faut connaître le degré de rinfiniment 
grand 

lorsque n croît indéfiniment.^ 

La rapidité de la convergence sera donc définie par le degré 
de grandeur (-) de 



(') Le critère de Kummer repose sur la possibilité d'écrire : 

^»+i ^ K 

Le critère de I*aul du Bois-Kcymond repose sur la possibilité d'écrire 

( iM„ n'augmentauL pas indéfuiimcnt avec /i), 

ou encore : 

I I 
"«+1 



M,. M„^, 



(iM,, augmcutanl indédniment avec a). 
(-) Voir Chapitre III. 



CONVERCiENCIi DliS HKIUKS A TIvIlMKS CONSTANTS. J 

<'l la riipidih' de la divergence par (udui do 

S„ (n — co). 

\msi, après avoii- domu' les (;rilrr(îs forKlamenlaux de Bertrand, 
apirs avoii- eoinparr le prohlcnie d(!s séries an prohlènie des inlé- 
«;ralcs (pii s'y rallarlic élroiLeinenl, nous éliidierons la croissance 
des Toiielions en introduisant une terminologie (pii paraît devoir 
être commode. Cela nous amènera à la conception de \'d fonction 
Idéale de Paul du Bois-lleymond. 

Après une digression sur les séries à plusieurs indices, nous 
étudierons enfin, au point de vue de la croissance, les fonctions 
de une ou plusieurs variables représentées par des séries de 
puissances convergentes partout ou seulement dans un certain 
domaine. 



Formation de critères de première espèce. 

Les règles de Cauchj et d'Alembert ne sont, en somme, que le 
résultat de la comparaison d'une série avec une série convergente, 
la progression géométrique 

Bertrand a donné ( ' ) une infinité d'autres séries de comparaison 
que nous étudierons en partant d'un théorème de Cauchj. 

Théorème. — Soit une série à termes positif s et décroissants 
elle converge et diverge en même temps que la série 



1 



V, 

si V on a posé 

i>n = a« iii^n { avec a > I ). 



<') Journal de Liouville, i" série, t. VII; i84'.>. 



4 CHAPITRE I. 

En effet 

puisque les termes décroissent. 

J)()I1C 

a(iiai'-^-+-i-^- . .-H Uap) > aP{a — \)UaV^laPUaV- 

Faisons/? = 2, 3, ..., n^ et ajoutons meml)re à membre, il vient 

Donc si 2_i^^'i converge, il en est de même de ^^^^n- 
D'autre part Ton peut écrire 

aP{a — l) lia? > UaV -T- UaV+i + . . . 4- UaP+^-i , 

puisque les termes Un décroissent constamment. 
D'où 

13onc, si ^^lifi diverge, 2.^'" divergera. Le théorème de Cauchy 

est établi. 

L'on pourrait supposer que a n'est pas entier (mais reste tou- 
jours ^i); alors, en désignant par E(.t) le plus grand entier 
inférieur à x l'on aurait 

ce que l'on peut bien écrire encore, pour simplifier, 

Nous allons prendre a ^= e, en désignant, suivant l'usage, par e 
la base des logarithmes népériens. 

Soient donc considérées la série 2, ^^n 
(Si) 1 + A--f- A-2 + ...-f- A-« + .. . 

convergente pour A" <C i, divergente pour /\^i, et la série ^^ ç,i 

( Si ) 14- eue -H e- Ue^ -|- . . . -h e" Ugn -4- . . . . 



coNVEncENcr: i)i:s si:nii:s a ti:hmi:s constants. 5 

L'on a 

( I ) Vn= c" A-'"' = e " c ''"■' ''■ '•" . * 

Si la srrie (S() convcri^T, on a 

log/i < o. 

Donc la série (Sj) converge bien j)liis vile, l^our avoir une série à 
convergence j)liis Icnlc que (S<), faisons l'inverse de ce qui j)ré- 
cède. 

Nous écrirons donc 

P„ = A" 
et 

en posant 

n = logv. 
Alors 

I 



u 



^ vl-logA- 



Remplaçons v par n et logA' par — p, nous obtenons la série de 



terme général 



I 

u„ = 



'"" 711 + P 



convergente pour A" << i ou o >> o, divergente pour A^i ou p^o. 
La convergence de la série 

est d'ailleurs plus lente que la convergence de la série 
(Si) ^/c'S A<i. 

L'application du théorème de Caucliy va nous donner une 
série (S3) qui converge encore plus lentement que (So). Écrivons, 
en effet, 

et 

Vn= e'Hic"= 'niy (/z = logv). 



6 CHAPITRE I. 

Nous en déduirons 



v(logv)i+P 



d'où la série cliercliée, convergente pour z >- o, divergente 
pour 

(S3) 



pour p ^o, 



.^ /i(Iog/i)'-+-p 
Posant 

logj;.^ = log(log(j._ia7). 

logo a? ^.r, 
nous obtenons des séries telles que 

T^ I 



nlogn log2/i . . . logjj_i/i(logjx/i)i^P 



Les séries So, S3, ... sont les séries de Bertrand. Pour >- o 
elles convergent et les convergences sont de plus en plus 
lentes. 

Pour p^o elles divergent et les divergences sont aussi de 
plus en plus lentes lorsque V indice ^ augmente. 

Cela résulte de la formule (i). L'on constate bien, d'ailleurs, que 
dans chaque série (Sj^,) les termes vont en décroissant constam- 
ment. 

Ces critères de Bertrand, qu'il obtenait d'ailleurs en partant 
d'un autre théorème de Gauchy, suffisent-ils pour reconnaître 
qu'une série donnée, à termes positifs, converge ou diverge? 

La réponse à cette question fait l'objet d'un paragraphe suivant. 
Nous allons d'abord montrer, très rapidement, comment d'un 
critère de première espèce l'on peut déduire un critère de 
seconde espèce (moins général, d'après son mode de formation). 

Formation de critères de seconde espèce. 
Posons 



(:onvi:r(;kn(ii: ni:s skries a tkrmks constants. 

.(' IcniK- i;('n<'iMl de la srnc (S^.^^) s\'criiM 



Uii = 



" Xp.(Al)(log^,^l)P 

u^, n — i los(/i — I) lo{T2(n — i) I loK|x(^ — i)]*"^P 



Eludions ce raj)|)()rl 



|loKa(/U|'-'P 



n — I _ I 

n n 



(I ou 



Iog(/i — 1)^ log(/0 ;-los( [— ;^ ) - \()orn-\{— -■ 

avec I Ô| << I 

/ ' 0'\ 

locfC// i) — \o^n I — —- i -I 

\ Ailogn Al-/ 

B' étant une quantité //«/e. 

Prenons les logaritlimes des deux membres 



I e 



n' 



/ " 0'\ 

= l0g2/l 
= l0go/i( l 



0" 



/i 10g Al /i- 

I r 

Al log Al logo Ai Ai- 



Q" et Q'^' sont encore finis. L'on voit que l'on a, d'une manière 
générale, 

log^(«-,)=los,«[,^j^- + l], 

B est toujours ///z/;. D'où 

[logj,(/i-i)]i-P=(log(xAi)'+p[^i- ^P--f-...J, 

et l'on peut écrire 



(•O 



1 ti,,_, \ /i/ 



I 



A j {n ) n 
I I I 



UL' X,(Al)"'"Ai2j 



n À|(''') ''>2(/i) À;} (Ai) 



H CHAPITRK I. 

D'où ce lliéorcmc : 

Soit une série 2^'^"' ^^ i^ on a 



W/M 1 ^1 I i-t-p 

1 — 



Un ^ n \\{ II) ' ' ' X[j.(/i ) 

p étant plus petit queo^ la série converge. 

En effet, si Ton a 

p > o 

l'on peut trouver un nombre p' tel que 

o<p'<p 

et tel que, pour n assez grand, l'on ait 

Ô étant ^ o et fini. Cette inégalité (3) revient, en effet, à celle-ci 

9-9' 
ou encore à 



> , 



or le second membre tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment. 

L'on peut donc trouver p'>o et vérifiant la condition (3). I! 
suffit alors de regarder la formule (2) pour voir que le théorème 
annoncé est prouvé. 

/)e même l'on démontre que si 

^ ] ... — • ^ — - — - 7 

la série diverge. 

il suffit, pour cela, de prendre un nombre tel que Ton ait 

-1 ^ 0^ ^ . 



(;()nvkh(;i:n(;k I)i:s skhiks a ti;hmi:.s constants. 

il CM l(''SllIl('lil 



ii,M 1 . r , _ \ 



I 



1 



A,j.M(/ij "'^ 



l'I la formiih' (:>.) pi-ouvc alors la (liv(;r^('iicc. 

Tel (Si le critère de seconde espèce que nous voulions former. 



l'Uude des critères de liertrand. 

JNous allons maintenant étudier d'une manière plus approfondie 
les critères de Bertrand. 

11 est, tout d'abord, nécessaire d'introduire la notion de la 
plus grande des limites d'une suite infinie de nombres réels 

(a) a,, «2, as, ..., a,„, 

Écartons le cas où la suite (a) contient des termes supérieurs à 
tout nombre donné ou croissant indéfiniment par valeurs néga- 
lives, sauf à y revenir bientôt (' ). 

Les nombres réels forment, par rapport à la suite (a), deux 
catégories : 

Un nombre A^ appartient à la classe supérieure s'il n'existe 
qu'un nomhYe fini de termes a,,^ qui soient supérieurs à A^; 

Un nombre A^- appartient à la classe inférieure si la suite con- 
tient des termes de rang aussi élevé que l'on veut qui soient 
supérieurs à A/. 

L'on voit que tout nombre plus grand que A^ est de la classe 
supérieure et que tout nombre inférieur à A/ est de la classe infé- 
rieure. 

Dans ces conditions, l'on sait que les deux classes sont sépa- 
rées par un nombre L tel que (L -4- s) appartienne à la classe 
supérieure et (L — s) à la classe inférieure, s étant aussi petit que 
l'on voudra. 

A ce nombre L, Cauchy, Paul du Bois-Revmond et M. Hada- 



(') Consulter sur ce sujet la Thèse de M. Hadamard {Journal de Mathéma- 
tiques, 1892). 



lO CIIAIMTRK I. 



mard ont donné des noms difFcrenls. Nous l'appellerons, avec 
Cauclij, la j)li(s grande, des limilcs de la suite (a). 
(Considérons la suite 



C^') —o^x 



y-î. 



La plus grande des iiniiLes de la suite (a'j, changée de signe, 
sera dite Ut plus peLile des limites de la suite (a). 

Si (a) contient des termes croissant indéfiniment par valeurs 
positives, l'une des classes disparaît : 



L = -h ce. 

Si les termes vont tous en augmentant par valeurs négatives, 
une classe disparaît encore : 

\j = — oc. 

J^'on peut évidemment, dans (a), détacher une suite de termes 
qui aura L pour limite absolue, pour limile au sens ordinaire de 
ce mot. 

Si, pour m assez grand, tous les a,,, s'approchent indéfiniment 
de L, ce nombre devient une limite absolue et l'on peut dire que 
les y.rn tendent régulièrement vers L. 

Prenons un exemple. Soit 

( — I V" \ pour ni — inult. 4 
m [ et m = mult. 4 — - i» 

( — 1 j'" 1 pour /;^ — miilt. 4 -r- '2 



a,,, = 1 



m \ el ni -s:^ mult. 4 — 3, 



La plus grande des limites est 2, L =^ 2. 

La plus petite des limites est i , / = i . 

Et c'est parce qu'une suite, comme celle-ci, contient des termes 
supérieurs à L et des termes inférieurs à /, que nous préférons 
l'expression de Gauclij u plus grande des limites » à celle de 
M. Hadamard : u limite supérieure pour m infini » et à celle de 
Paul du Bois-Redmond : « limite supérieure d' indétermination ». 

Cetle notion étant acquise, l'on cherchera à comparer une série 

donnée ^ ^/« à une série de Bertrand en écrivant 



Un - 



À[JL(-2^)(logtX^')?" 



(:()Nvi:u(;i:n<;k nus si:iui:s a timlmks constants. ii 

cl en (iiidianl lii suilc des noinhi'cîs 

pli ?2î p:ii • • • . p//> . • • • 

Soil z' la plus :;iaii(lc des liniilcs cl p la plus |)cLil(; dc^ liiiiilcs. 
IMuslcuis cas pciivciiL se pi'csciilcr. 

Prrtincr ras : 

o<?" P'. 

jNous n'avons (jtrun noinhic ///*•/ d'indices m lels (pic 

pm : p"— s (p"— S> O). 

I^a série donnée converge donc coiiinie une série de Bertrand 



dans laquelle p est positif. 
Deuxième cas : 



9-i?'<o. 



Il n'y a (pTun nombre /î/u' d'indices ni tels que 

pm>P'-^£ (p'-î-£<0). 

Donc la série donnée diverge comme une série de Bertrand 

dans laquelle on a 

? = o. 

Troisième cas : 

p" < o < p'. 

Alors une partie de la série est comparable à une série conver- 
gente, une seconde partie étant comparable à une série diver- 
gente. 

Si d'ailleurs l'on prend une série Sj^^^ dont l'indice soit plus 
élevé, p' tend vers — oo et p' vers -f- oo. Donc les critères sont 
inapplicables. 

Quatrième cas : 

p"=p'=o. 

La méthode de comparaison avec la série S|x_(.2 est en dcjaut. 

Nous omettrons la discussion, très aisée d'ailleurs, des autres 
cas qui peuvent se présenter relativement à la situation respective 
des trois nombres 



o. p 



r ' r ' 



12 



CHAPITRE I. 



nous avons, on cfTct, rcnconlré les cas intéressants, celui où le 
critère S^^2 est inapplicable, et le cas où il est en défaut, cas 
bien difTcrents d'ailleurs. 

Si, en cfTct, le critère S^^o est inapplicable, il en va de même 
des critères d'indice plus grand. Mais si le critère Sjj^o est en 
défaut, l'on pourra espérer que tous les critères d'indice plus 
grand ne le seront pas. Bertrand écartait, comme « infini- 
ment peu probable )), le cas où tous ses critères seraient e/i 
défaut. 

Ce cas peut cependant se présenter, comme l'a montré Paul du 
J3ois-Reymond, comme nous allons le voir d'après lui. 



Théorèmes de Paul du Bois-Reymond . 

Faisons p = o dans les séries de Bertrand, nous avons les séries 
divergentes 



— î 

11 



(^l) 
(^•2) 



1.- 



Ces séries divergent de plus en [)lus lentement. 
Nous allonsyb/7?z^r une série 



U. 



divergente, mais plus lentement que la série o-^, quelque grand 
que soit l'indice q. 

Pour cela, donnons-nous une série divergente quelconque 

£1 -h S2 -r 03 -i- . . . -f- £/;i -f- . . . . 

Prenons dans la série o-,) un nombre ;z, de termes suffisants 
pour que l'on ait 

r 



1 I 

I -H h - 

2 3 



n\ 



>£i, 



puis, dans la série œ, un nombre [n^ — /^i), de termes assez grands 



CONVKlUiKNCi: DliS SKIIIKS A TKIl.MiiS CONSTAMS. I î 

nour vciilicr riiu'^aliLc 

I I I 

H-. . .-h ^— > £2, 



cl, cil {^l'iK'ral, dans la si'tk; t^ (//y+t - - "yj Icrincs (l(j rnauicicr 
(rue 



,,{n,j-^ i) k,f{n,,.^,^) 

Avec ces. groupes Je termes pris dans les séries t^ nous Ibririons 

une série ^U,/ qui diverge, puisque la série de z diverge, et qui 

diverge moins vite que la série 'J^|. Soit, en elFet, V/, le terme 
général de t^, l'on a 

Il suffit, pour le montrer, de voir que 11 augmentant indéfini- 
ment est supérieur à /ï^+j. Par suite. 



tandis que 

Donc, le rapport 
est inférieur à 



U"=x7i^' '''>''■ 



V - ^ ' 



I 



log^+,(/i) 

Il tend vers zéro lorsque n tend vers V infini. 

Nous avons donc une série \ U/^ qui diverge plus lentement 
qu'une série quelconque iq. 

Faisons maintenant p ==: i dans les séries de Bertrand, nous 
avons des séries à convergence de plus en plus lente: 



l4 CHAPITRE I. 

JNous allons former une série ^ n ,i qui converge pins lente- 
ment qu'une série .s^, quelque grand que soit l'indice r/ . 

il suffit, pour cela, de se donner une série convergente quel- 
conque 

''il "•" ■'■/•i -f- • • • -^ >î/n -1- . . . , 

et de prendre des groupes de termes dans les séries .v/, de manière 
((ue la somme du groupe soit inférieure à y,;. 

Si l'on appelle v,i le terme général de la série v^, l'on a, dans ces 
conditions, 



/! =00 \ V II 



Nous allons maintenant établir, relativement aux séries 2, ^/n 
2, '0/1 'e théorème suivant : 

Pour ces séries les critères logarithmiques sont toujours en 
défaut. 



L'on a, en effet, 



U. 



Kq{ ri) 

l'indice cj restant le même pour 

La comparaison se fait en écrivant 

ÎJ = ' 

d'où 

logy^ logn — logi/i — . . .— log;j,/i 



9 11= \ 



Ici l'on a donc 

log/i -H iog2/i -i-. . .-:- log^-^i îl — log n — . . . l0g(j./l 

pn =^ j ~ - — 

JOg|j,/i 

^ log|x+i n -h logjj.+o /i -^ . . . -f- log^+1 n 
~ loga/l 

Quel que soit a, Ton voit que z„ tend vers la limite absolue 
zéro pour /? =oo. 



cow i:h(;i:\(:i; i»i:s siiiui.s \ ri;inii:s constants. i5 

Il II N a, noiiraiiiM duc, ricii à cliaii^ci' à (:(u:i pour luonlriii'lc 
iir'Mk; rrsiillal iclal i vciiiciil à la si'i'ic de hernie ^('ii('ral 

_ I 

Ici encore 

lim (p„j= o. 

Jin résumé, nous avo/ts obtenu des séries pour lesf/uetles les 
critères de liertrand sont toujours applicables et toujours eu 
défaut . 

Paul du Bols-Rejmond (') a, le picinier, donné de tels 
exemples. 

Nous aurons à revenir, d'ailleurs, sur les travaux de Paul du 
Bois-llejmond sur les ("onclions croissantes. Terminons ce para- 
graphe par la démonstration de deux théorèmes qui sont une 
généralisation des résultats de Paul du Bois-Rejmond et qui sont 
dus à M. Iladamard (-). 

Théorème. — Etant donnée une fonction indéfiniment crois- 
saute quelconque '^{n), l'on peut trouver : 

i" ^/i(?5^'/7'e convergente / ^ u,t ; 

9p Une série à\\'cv^Q\\{Q ^ U,o telles que l'on ait 

Soit, en elTet, une série de nombres M,^ croissant indéfiniment 
avec l'indice /i, par exemple, 

La série \^(M,/^, — M,,) diverge et la série /.{ ^^ r vr~ — 



(') Journal de Creltc, V. 7<i. — Voir aussi Pringsheim, Matliematisclie 
Annale/i, l. XXXV. — Dim, An/i . delV C'nà'. l'ose; 1867. 
(- ) Acta Matlienialica, t. \\ IIl. 



l6 CIIAPITRJ-: I. 

converge, le rapport des termes de même rang étant 

M„M,,.Hi<'f(/i); 

c'est ce que nous devions établir. 

L'on peut encore énoncer ce ihéorème : 

Théorème. — Quelque ienlc que soil la divergence cl' une se /'ie, 
l'on peut niultipliei- ses termes par des quantités indéfiniment 
décroissantes, de façon à formel' une série encore divergente. 

Quelque lente que soit la convergence, Uon peut multiplier 
les termes par des quantités indé(iniment croissantes sans trou- 
bler la convergence. 

Soient, en effet, 7] U,^ la série divergente ei 8,^ la somme des 
n premiers termes, 

La quantité -=^ est infiniment petite pour n très grand. 

Or, la série de terme général 

est bien encore divergente. 

De même, soit la série convergente ^ ^<« et soit R/^ le reste, 

L'on a 

u,i = R/i— 1 — Rrt. 

La quantité 7= croît indéfiniment avec n. Or la série 

de terme général 



est bien convergente. 



coNVKiuiiiNci: i>i:s skiiiks a tkiimks constants. 17 

C^o.NCLi sioN. ( .c (jiii prc'crdc se lallaclK; <';lroil(Mn(!iiL à des 

coMsidéralioiis (jiio l On Irouvora (l(!Vclop|)écs |)liis loin. Mais, dès 
inaiiilcnaiil , nous dc^sons li'-pondrc à celle (|iicsLion ; Ouc nalcjii^ 
vu s<)//n)f<\ /('S crilrrcs loi^dri t limi(itics? 

« l5tMii(itii|) (h; i;('M)iurli()s ( ' ), piiniii lcs([ii('ls on peut v\\a\\' O. UoiiikM., ont 
omis (le considtMfr les cas on ces ciilères sont inapj)! ùuihlea.... Il n'est j)as 
<lonliMi\ (|ne ces cas n'existent, «'t il est très ais('; d'en fdbrù/ ttcf ; r.v. ([ni 
est moins aisé, c'est (Vcw l'onrnir des exemples réels, c'cst-à-(lii(; s'ètant 
présentés nalurellement. De pins, dans tons les cas indiqués jusqu'ici à ma 
connaissance, où ces critères sont inapplicables, la série proposée se 
(it'ciMnposc naturellement en plusieurs séries |)articlles, à chacune des- 
(juelles ils sont applicables. » 

D'autre pari, Paul du Bois-llejmoad a formé une série pour 
laquelle les critères logarillimiqiies sont Lous en défaut, jamais 
inapplicables. 

INlais, poursuit M. Borel, <( le sens de la réalité ne l'abandonne pas an mi- 
lieu de CCS spéculations et il s'inquiète de l'approximation que peut four- 
nir la série qu'il vient de former. Le résultat de son calcul est le suivant : 
pour atteindre la moitié de la somme totale, il faut prendre un nombre de 
termes égal au volume de la terre exprimé en millimètres cubes ». 

N^ous pouvons conclure, d'après cela : 

Les critères de Bertrand suffisent^ non pas à un point de vue 
ABSOLU, mais ils suffisent au moins dans l'étal actuel de la Science. 



Conditions nécessaires de convergence. 

Soit d'abord une série à termes positifs ^^tt,i sur laquelle on 
ne fait aucune autre hypothèse. 

Existe-t-il une condition ixécessaire de convergence, de la 

forme 

lim [o( ii)Un J = o, 

cs(/i) ayant pour plus grande limite +x? 



(') Borel, Mémoire sur les séries diK'ergentes {Annales de l'Ecole Normale : 
i«99)- 

B. 2 



CHAPITRE I. 

Choisissons des entiers n,, /i^, • . • par les conditions suivantes 

1 I 

-7 -, < -y 

9(/ii) 2 



Remplaçons, dans la série donnée, u„ par— — r»w„ par-^ — r, •••• 

La convergence de la série donnée n'est pas troublée et l'on a, 
pour une infinité de valeurs de N, savoir 

cp ( N ) ?*^ = I . 

L'on voit par là que pour une série quelconque il ne saurait 
y avoir d' autre condition nécessaire que la condition 

lim {u/i) = o. 

La réponse à 1^ question posée est négative. 
Nous allons montrer que, si l'on suppose les termes de la série 
non croissants ('), il j aune condition nécessaire, savoir 



(0 



lim (nUfi) = o, 



mais qu'il n'existe pas de condition nécessaire de la forme 

(2) lim {n(j^{n)un]= o, 

cp(/i) étant une fonction dont la plus grande des limites est -f- 00. 

i" Si l'on n'a pas (i), alors il existe une infinité de nombres n^ 
tels que 

nqUn^> a > O. 

Nous pouvons supposer que l'on a 



(') Celle proposilion est due à M. Pringsheim. 



CONVERGENCE DES SERIES A TERMES CONSTANTS. IQ 

D'ailleurs les termes de la sc'ric donncc ^ ii ,i décroisscnl, d'où 



D'où 



\i ., a a a 
/ //„> Kh ! \ h. 

^^ •>. 1 •>. 



n — i 



a clanl un nombre fixe, la somme serait infinie. 11 y a contradiction 
avec riiypotlicse de la convergence. Donc la condition (i) doil 
être remplie. 

2° Pour examiner la nécessité d'une condition (2), choisissons 
des entiers /?,, /Zo, /?3, . .. par la condition 



< - ? / , . •-- i - ; > 



soient alors 

_ [ 

Ul=z ^2 = . . . = It/i, = — ; j 

\ 

If-n.-hX ^ ^^/7,4-2 = . . . = Un. = — 7 5 



La série ainsi formée est formée de termes non croissants. Elle 
converge comme 

1 \'f 



•2 
7 = 1 ' 

et l'on a, pour une infinité de valeurs de N, 

N <p ( N )?<>•= I . 

La condition (i) est bien la seule condition nécessaire pour des 
séries à termes non croissants. 

Conclusion. — On voit combien les idées ont été mûries depuis que 
Lagrange écrivait en 1770 (') : « Pour qu'une série puisse être regardée 

(') Mémoires de Berlin {Œuvres, l. III, p. Gi). 



2() 



CllAPlTRI*: I. — CONVlîRGENCli DES SERIES A TERMES CONSTANTS. 



C(jrninc leprcsciUaiU rccllcnicnl la valeur d'une quanlilé cliercli(''c il J'dul 
qu'elle soit convergente à son e\LiéniiLé, c'eal-à-dire (jue se:; derniers 
termes soient infiniment petits, de sorte que l'erreur puisse devenir 
moindre qu'aucune (|uantité donnée. » 

Abcl ('), d'ailleurs, avait donné le théorème relatif à im ,t jK)iir 
les séries à Icrnies décroissanls, tiiéorème fjui a élé ici corn- 
|)lélé (-*). 



( ' ) Ari-.l, OEiwres complètes. 

(-) l*<)ui' tout ce (jui concei'iio les séries, voir l'arLiclc de M. Pringhliciin diiiis 
Encyklopàdie der inatkeniatiscken Wissenschaften, Leipzig, Teubuer. 



CIIAPITKK 11. 



(:()NVI>:ugI':n(;i: ni;s inti;(;iiali;s. 



Général îles. 

Soil une intégrale dont rélcmcnl difTcrenliel devicnl Infini pour 
une valeur de x qui, par un cliangemenl de variable, pourra èlrc 
supposée X = + ^. 

J^intégrale [>euL, ou non, avoir un sens. 

Par exemple 



/ 



dx 

" Il 
a un sens. 

Considérons la courbe 

(0 r=^.. 

l'ordonnée décroît régulièrement et tend vers zéro. Considérons, 
en même temps, la couihe 

dont l'ordonnée croît constamment. 
Formons maintenant une courbe 

j = F(.r) 

fjui, lorsque x est compris entre deux entiers consécutifs n et 
// + 1 , se confondra avec la courbe (i), mais, pour x = /?, rejoin- 
dra la courbe (2) par une ascension et une descente cofitiiiucs, 
mais très rapides, et comprises entre les abscisses 

a — — } /i H • 

■2 2 

On aura 



22 CHAPITRE II. 

Les £ étant l)icn choisis, rintégrale du premier membre aura un 
sens. 

On voit, en examinant ce cas particulier, que si la fonction 
sous le signe est tout àjait quelconque, Von ne peut pas espérer 
de former une condition nécessaire de convergence de la forme 

F(;r)<-|(^). 

Il n'en est plus de même, si nous faisons une hypothèse sur 
l'allure de la fonction. 

Intégrale d^une fonction décroissante. 

Supposons la fonction f{x) décroissante et que, pour une infi- 
nité de valeurs 

•^l> ^^2? -^35 ' • • 1 ^ni ' ' ' 1 

le produit x f{x) reste supérieur à un nombre fini A. 
Nous prendrons 

On aura 

f f{x)dx^ / f{Xn)dx>{Xa—Xa-\) >-• 

^^„-, ^" '^ 

Il ne saurait j avoir convergence pour / f(^x)dx., d'où : 

Théorème. — Pour une intégrale de fonction décroissante, 
il existe une condition nécessaire de convergence, savoir 

lim [^/(^)] = o. 

.r = 00 

Il faut donc, comme pour les séries, rechercher des règles de 
convergence assez compréhensives pour être, ici encore, relati- 
vement suffisantes. 

C'est ce que nous allons faire. 

Critères de Bertrand, de M. Ermakoff, 
Nous ferons d'abord une remarque relative à l'ensemble des 



CONVERGENCE DES INTEGRALES. 'a3 

intégrales convergentes. Soient (leii\ Icllcs intégrales, absolument 
quelconques par ailleurs, 



-f- » ^ H- 00 



/-t- (w ^ -r- *^ 

J\x)d.r, j s{x)dx. 

On peut écrire 

J^ 00 /-» 00 

/(x) dx = j g{x)dx^ 

ce qui définit une fonction croissante 

(•2) ■ 7-G(^)- 

Ainsi, toutes les intégrales convergentes se ramènent à U une 
déciles par un changement de variable qui met en jeu une 
fonction croissante. 

Geci ne donne point de critères; mais un changement de va- 
riable, tel que (2), nous fixe sur la rapidité de la convergence d'une 
intégrale. Soit, en effet, 



f{x) dx = ^{x). 

JC 



Lorsque œ est très grand, cp peut s'appeler le reste, car 

lim [^(^)] = o. 

or— 00 

La relation (2) peut d'ailleurs s'écrire 

(2') ^ = F(j), 

F étant encore une fonction croissante. 
D'où 

[^ f{x)dx= f^ f[F(y)]F'(y)dy=. f^ g{y)dy. 
Ecrivons 



On a 



/ ô (7) dy = <î>(7) r= ^{x). 
*(7) = ?[F(7)]- 



D'où 

L'intégrale converge rapidement, si le reste ^{y) tend rapi- 



•24 



CHAPITRE II, 



dément vers zéro, c'esl-à-dirc si la fonction F (y) est rapide- 
ment croissante; l'intégrale converge lentement, si F(jk) croit 
lentement . 

De même toutes les intégrales divergentes se ramènent théori- 
quement à l'une d'elles. 
Prenons donc l'intégrale 

/"*"* dx ( convergente pour p > o 

.r'+P ) divergente pour p^o 



et faisons 



X = 



dy 






(7) 



nous obtenons ainsi toutes les intégrales de comparaison de 
Bertrand 

dy 






(r)[iogpXr)Jp 



convergentes pour p > o, divergentes pour p ^o et dont on peut 
dire encore qu'elles sont relativement suffisantes. 

On doit encore à M. ErmakofF une règle d'un emploi com- 
mode. Ecrivons 



r f{x)dx=^ 0(jr) -0(:ro) 



et faisons 
d'où l'intégrale 



X = eJ, 



J/-. log.r 
\ f{ey)eydy. 
log.ro 



Supposons que, pour x très grand, pour x >> log\ro5 1^<^" ^^i'^ 
e-^f{e-^)<kf{x) (A<i). 
Nous en tirons 

/n log.r ^ log.r 

/ f{ey)eydy<k i fi^x) dx < k[^{\o^x) - ^{\o^x^)]. 



iog.r-0 



log.ro 



Rapprochant les membres extrêmes 



0(:c) — 0(a7o) < Ae(log:r) — /.•e(loga"o), 
0(3?) < Â:6(loga7) -h a (afini). 



coxvkhgknck i)i:s inti:(;uai.ks. "25 

( ,li;mi;ooiis .r m c'' 

(]((■■'■) ■ : /0(.r)-ha< /. I/.0(log^)-{-a|-+- a < /r-0(\o<;.v) -H a(/- -Hi). 

De iiicmc 

(e«-') < A-"» ( \o'^x) -+- a( /.'^ -h /.• i- i ) 

(i (Miflii 

i /"/ 
l c"^-' \ < /.•"O(log.r)-t- a( /."-'+ /t"-2 ■- . . .+ /. -h i). 

Lorsque le nombre n des exposants superposés devient infini 
le deuxième membre a pour limite 

a 

d'où la règle (' ) ' 

Si, pour X 1res grand, on n constamment 
e^f{e^)<kf{x) (k<i), 

l'intégrale converge. 

On verrait de même que si, pour x très grand, on a con- 
stamment 

e^f{e-)>kf{x) {k>i), 



f{x)dx diverge. 



Théorème de Paul du Bois-Reymond. 

Nous avons vu que l'on peut toujours former une série qui 
converge plus lentement qu'une série convergente donnée ou qui 
diverge plus lentement qu'une série divergente donnée. 

11 en est absolument de même pour les intégrales. Toutes les 
intégrales convergentes, nous l'avons vu, se ramènent à l'une 
d'elles par un changement de variable 

y = V{x), 

F étant une fonction croissante. Il en est de même pour les inté- 
grales divergentes. 

(') Ermakoff, Bulletin des Sciences mathématiques, années 1871 et i8S3. 



26 



CHAPITRE II. 



11. nous suffit donc, pour démonlrer l'idcnlité des deux pro- 
blèmes (séries et intégrales), de donner le théorème suivant, dû à 
Paul du Bois-Reymond : 

Théorème. -:- Soit un ensemble clénombrable de fondions 
positives croissant de plus en plus rapidement 

il existe une fonction ^(^x^ qui croit encore plus vite. 

Nous supposons que '^„_,_, croît plus vite que cp/^, c'est-à-dire 
que ^n-\.\ • 'f augmente indéfiniment avec x. Mais '^n^\ n'est pas 
supérieur à '^,i pour toute valeur de x\ nous allons donc tout 
d'abord clierclier un ensemble dénombrable de fonctions 



^^{^). 



^n{0C) 



jouissant de cette dernière propriété, 
Il suffira de prendre 






quel que soit x. 



Montrons que c'est bien, en effet, possible. 

Supposons que nous ayons obtenu d»,, d/o, . . ., '\n et cherchons 
à obtenir ^«+i . 

Pour x assez grand.^ d,^ et cp/^ coïncident; donc, pour x assez 
grand, l'on a 

Nous prendrons donc, pour chaque valeur de x, la valeur 
de ^n-\-\ égale à 1^ plus grande des valeurs de cp„^, (^x) et de di„(x). 
Gela fait, nous définirons ^{x) ainsi : pour x =^ n (entier) 

entre deux entiers consécutifs nous ferons une interpolation 
linéaire ou très voisine de celle-là si l'on veut une fonction $ con- 
tinue. 

La fonction ^ répond à la question proposée, car elle est crois- 
sante et l'on a, pour x '^ m -\- i , 

> — —y 



?m(^) ?w(^) 



CONVERGENCE DES INTEGRALES. •>.7 

ce (lorni(M* iMj^port ci'oissîuil, iiuLTiiiimcnL, |)iiisf|iio, pour x assez 
j^raïul, il coïncide avec 

Le lliéorème de Paul du Bois-llejmond est élabli. 

Remarque. — Ce lliéorème peut être complété, à un certain 
point de vue, p;ir une remarque de M. II. Poincaré (') : 

Etant donnée une Jonction croissante ^^(^), on peut tou- 
jours trouver une fonction entière E(^) telle que l'on ait 

E(:c)> ^\^{x). 

Soit, en effet, une fonction croissante <I> et prenons un ensemble 
dénomhrable de nombres croissants a,, «o, ..., «,/, ... (pai' 
exemple «,< = n). On aura 

Considérons un deuxième ensemble dénombrable de nombres b,i 
défini par 

«1 < ^j < «2 < ^3 < ^3 . . . < 6/, < a„ < . . . 
et posons 

On a 

1 « + 1 

Il suffit de choisir M„ tel que 



n = 1 






Cin \*'" ^ 



'/i-+-l 



(') \o'\r American Journal, t. XIII. 



28 CHAPITRE II. 

Cela est possible, puisque 



7r> ï > f — 



Cl la fonction entière est obtenue. 

J^c théorème de Paul du Bois-Rejmond nous montre claire- 
ment fpie les croissances ne se mesurent pas comme les grandeurs 
auxquelles s'applique l'axiome d'Archimcde. 

Jl n'existe j)as d\^chelle des croissances telle que 

Cp], O2, . . . , '-p/n .... 

11 n'existe pas davantage d'échelle telle que 

?1,1 î ?1,2? • • • ) '-^1,111 • • • 1 
?2,l, ^■2,1, ••-, ?2,«, •••• 

f 

'f/J,!' 9/', 25 • • • ,' T'/^"' • ' • ■> 



puisqu'un ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables est 
lui-même un ensemble dénombrable (^). 

On ne conçoit une échelle absolue qu'autant que l'on conçoit 

le TRANSFINI. 

En un mot, grâce au théorème précédent, on voit bien claire- 
ment ce que sont les critères de convergence des séries et des 
intégrales, critères de comparaison infiniment précieux, puisqu'ils 
atteignent les modes de croissance que les géomètres rencontrent 
nalurellement, mais critères forcément insuffisants au point de vue 
de l'absolu. 

Poursuivons notre comparaison des séries et des intégrales. Les 
Icrnies successifs d'une série peuvent être regardés comme étant 
les ordonnées relatives à une fonction définie seulement pour les 
valeurs entières de la variable. Au contraire, une intégrale met en 
jeu une courbe qui a une ordonnée (ou deux au plus en certains 



( ' ) J^oir E. BoREL, Leçons sur la Théorie des Fonctions; Gaulliicr-Mllars, 1S98: 
en parliciilicr la JYote II à la fin de l'Ouvrage. 



coNVKiKMCNci'; i)i:s IN ri;(;iui.i;s. 



'•'-'J 



pomls") pour cIhkjuc salciir de la vaiMahU;. (IcLU; miaj^c; j^comk-- 
lri(|ii(' (Iouik; prccisrmciil un Lli<;()rcin<; de Caiicliv : 



S!/i\'(f/t/ <!!((' riiih'^id le 






il , on non, un sens, Ut scrie 

/(r )+/(•>.) + ... -l-/C'0-^.-. • 

(O/H'c/'^e on di\'c'/-^c ('). 

I.cs rclalioiis eiilrc séries cl inlcgrales, regardées de ce point de 
vue, nous amènent à étudier les relations entre les types de crois- 
sance continus et discontinus. 



Types continua et types disconluius de croissance. 

Est-on suffisamnient renseigné sur l'allure d'une fonctiony(^') 
lorsque l'on connaît 



/(/l), /(/l+ I ), /(/l-^2), . .. ? 



i" Supposons 
alors 



f{n)= e" ; 



f{ji-h 1 ) — /( /i ) = 6'' ( e — 1 ) = /'( n -^ ). 

Si nous savons, en plus, que la dérivée est croissante, nous 
pouvons écrire 

eu-i(e — i)</'(/i)<e''(e— g; 
posant 



=1 — a, e — 1=14- |j, 



d vient 



e''(i— aX/'(/i)<e-''(i-H 3), 
c'est-à-dire que la dérivée, pour x = /?, est voisine de e". 



(') Voi/', par exemple, IMcaiîu, Traité d'Analyse, t. I, r- édilioii, p. 3»). 



3o CHAPITRE II. 

Les différences successives donnent de même des limites assez 
resserrées pour les dérivées successives 

/'(n), f"{n), .... 

On voit que, dans ce cas, les ordonnées correspondant aux 
abscisses entières suffisent à 5WfV/-e la fonction pour des abscisses 
quelconques, avec une certaine approximation. 

2" Nous allons montrer que, pour des fonctions beaucoup plus 
croissantes, les ordonnées entières ne renseignent plus suffisam- 
ment sur la marche de la fonction. 

Posons 

(nous mettons ces indices pour faciliter la lecture, mais nous 
supposons toujours 

ei=z 62= e-i — . . . —e,n = e ) 
et formons la fonction entière, très rapidement croissante 






^mirn) 



Proposons-nous de trouver des inégalités relatives à '^^{m). 

^^{m) 02(771 ) 0,n-l(77l) ^ ^ 

'hi m) = : h - — ; — ^, H- ... H -. -+- l 

?l( 1) ?2(2) 0,n_i{77l — l) 



0„i^l (771 -+- I ) 0„i+2 (771-^1) 

m ayant une valeur assez grande, les termes de la deuxième ligne 
sont décroissants et tous extrêmement petits. 

L'avant-dernier terme de la première ligne est, au contraire, 
extrêmement grand 

0,;,_i(m)= 0,n-\{77l — I )-h '-^'fn-li 771 — 1 ) -^ 

Or 

cp;„_i(ic)= cp,„_i(\r)9,„_2(a^)o,„_3(^). .., cpi(.r), 



CONVERGKNCIî DES INTÉGRALES. U 

cl Où 

Om-\(fn) 

<Pwi-l(/^i— > ) 

9„,-i ( m — I )+ o,„-i ( ni — I ) -h (p;;,-2 ( m — I ) -I-...-H... ^ 

= ; ^ ^ 'fm-2' f" — >)• 

cû,„_,(m— I) 

On a, d'ailleurs, 

d;(/;?) = cp„i_|(m) ; — : H -. H j^ -. ■ H-... 



CÇjf /^î) 



cp,„+, (m) ?m+2(m) 






I 
m 



Cp„H.l ( //l -h I j Cp,„^2 ( Wi -i- 2 ; 

Il y a, entre crochets, m termes et cliacun est inférieur à 
d'où 

Ainsi, la fonction ']>(^) donne lieu à cette double inégalité 

cp,„_2(m— i)<<|>(m) < ^m-i(fn). 

On se rend compte de la très faible approximation que donne 
cette double inégalité, caria fonction (fm-\{^) a une croissance 
bien plus rapide que la fonction ^m-2{^)' 

Pour les fonctions telles que ^(^) à croissance rapide, les 
ordonnées correspondant aux abscisses entières ne renseignent 
plus sur l'allure de la courbe. 



CHAPITRE III. 



ESQUISSE I) UNK TlIKOl'.li: DK LA CKOISSANCI-: 



On a pu se rendre compte, par les Chapitres précédenls, de 
l'importance capitale de la croissance des fonctions dans les 
questions que nous étudions. Cette importance est assez g^rande 
pour que la théorie de la croissance mérite d'être étudiée en elle- 
même ; c'est ce que nous allons faire rapidement. 

Nous indiquerons d'abord certains modes de croissance que l'on 
peut a])peler croissance irrégulière, puis nous développerons 
quelques considérations sur les ordres d' infinilude de certaines 
fonctions simples. Nous pourrons alors définir les croissances 



régu Hères . 



Les croissances irrésiulières. 



Nous allons former une fonction, croissante ainsi que toutes 
ses dérivées, et qui, pour une infinité de valeurs de la variable, 
sera voisine de e^ , pour une infinité d'autres valeurs de la 
variable, sera voisine de e^''. 

Ecrivons d'abord 



(0 



gc'^ — Jj^^ Jj^x -i- boX-^r-. . .-!- b„i X' 



et formons une fonction g{x) composée de groupes de termes pris 
alternativement dans (i) et dans (2) : 



(3) 



■{X) 



-H b„.^x"-- 



-iX 



«/z,^^' 
/'-.+i_j_ 



'11. +\ ■ 



11 nous faut maintenant un choix convenable des nombres /? 1 , 
/?2, . . «j fifij . . • et alors_, pour des valeurs bien choisies de x, l'on 
verra que ^(;r) est voisin âe e*-' et inférieur à Ax'*', ou bien, au con- 
traire, voisin de e^'', en étant supérieur à he^''^ k étant plus grand 
que un et Ji [)lus petit que un. 



ESQUISSE d'une tméohik di: i.a croissance. 'S'\ 

El, cil cirot, [)oiir une c.erl(tinc valeur de .r, il existe un cer- 
l((in groupe de Icrnics à cocfficicnls b ou ù cocfficicnls a (jui, à 
lui seul, représente très a[)proxiinativcment la fonction. Nous 
l'allons montrer. 

Les coenicicnls sont tous positifs et la variable est positive, 
(1 ou 

Soit une autre valeur x' ^ x, 



ùnx''^<e^'(- . 



X 



Mettons à part le groupe de termes 

et considérons tous les autres termes de g{x') dont la somme est 
inférieure à 

(car l'on augmente évidemment cette somme en prenant le coef- 
ficient b/i là où l'on a le coefficient a/i). Soit Xq une valeur ^jce, 
assez grande. Prenons x^'^Xq, la première somme est inférieure à 
celle obtenue en remplaçant chaque terme par le plus grand de 
tous 



"îk 



/ x' \ 'hk 



(4) E^-"<--1^) •. 

Prenons ensuite Xi >> x'; on peut écrire 

\ i ""<--(S) ï:-i-(£f---(Sy'--\ 



\ ^1 / '^r 

I — — 
^1 



Soient maintenant x' = 2e^o et n2k= e^o^ le deuxième membre 
de l'inégalité (4) sera inférieur à e^'. Vérifions-le : 






B. 



i 



34 




CHAPITRE III 


revient à 








e^-^oi 





et cette inégalité, pour Xq assez grand, est évidente. 
On a donc 

(4') ^bix'^^e^'. 

i = 

Prenons maintenant 

Xi = x''^ 
et 

le deuxième membre de (5) sera encore inférieur à e^' . Ceci 
revient, en effet, à cette inégalité 

■ -'■^ 

ou bien 

inégalité évidente, pour ^o assez grand. 
Nous avons aussi 

00 

(5') 2 hix'i<e^' 

et comme, évidemment, l'on a 

il résulte de ceci, de (4') et de (5') ,que Ton a 
(6) S'ix'X^e^^'. 

Nous avons obtenu l'inégalité annoncée pour la valeur x' de la 
variable. 

Nous avons pris x' ^ 2e^o; c'est-à-dire 



1 



et 



^0= log( ^ 



n-}/,- =■6^-' 



I 



I 



ESOt'IPSC n'iîNFÎ TlIKOniK \)E L\ CUOISSAN'CE. 35 

ou 

v/iok(-^') 

Nous (Irfînlrons mainlcnanl une seconde valeur x" "^ x' cL 
n-2/i+-2 pî^ï' ^^ relalion analoi^iio 






avec la condition que /î2A+2 soit entier el supérieur à «2^+0 cl 
ainsi de suite. 

Nous aurons par là une infinité de valeurs \ de x^ telles que 

En CCS points la fonction g{x) est, à très peu près, comparable 
à e^. 

Le même procédé donne une infinité de valeurs r\ de x, telles 
que 

En CCS points la fonction g{x) est comparable à e^"" . 

Nous avons ainsi constaté l'existence de fonctions croissantes à 
allure très irrégulière. Fort heureusement, les fonctions qui se 
présentent naturellement aux géomèlres sont, en général, de 
nature plus simple, elles sont régulières et la suite montrera le 
sens que nous attachons à ce mot ( ^ ). 



Sur les ordres dHnfinitude. 

Dans toute question relative aux infiniment petits, l'on choisit 
un infiniment petit principal x et on lui compare les autres infi- 
niment petits. 



(') Dans tout ceci, certains coefficients constants sont sans importance. Ainsi e^ 
ou 3e' c'est pour nous la même chose, car c'est le même mode de croissance. 
Ceci est dit une fois pour toutes. 



36 CHAPITRE III. 

La définition classique de Vordre infinitésimal est alors 
celle-ci : 

(( Soit [i. un nomhYQ; positif tel que -^ ait une limite lorsque^ 
tend vers zéro, U ordre de y est ijl. )> 

Mais il peut arriver que p. n'existe pas, c'est-à-dire que, ayant 
posé 

et regardant a comme variable, nous trouvions pour a une plus 
grande limite et une plus petite limite. 

13ans ce cas, il n'est plus de théorie possible des infiniment 
petits. Il peut arriver encore que l'on ait, quel que soit le nombre 
positif £ ( ' ), 

y 
lim ' '^ 



Nous dirons alors que l'ordre àe y est (tji). [Prononcez : a pa- 
renthèse. ) 

Tout cela peut être répété pour le cas où ^ ety sont positifs et 
infiniment grands, en remplaçant le mot ordre infinitésimal par 
ordre d^ infimitude ou par degré de grandeur. 

Soit donc X X infiniment grand principal^ 

y = xP sera de degré /), 

y ^^ xP x. x'J sera de degré p -\- q • 

Soient maintenant JK de degré/? en ^, 

y = xP, 

puis z de degré q enjK, 

z =y'J = xP1\ 
on voit que z est de degré pq . 



(') Voir Œuvres de Cauchy, 2' série, t. IV", p. 281^ et le Bulletin de la Soc. 
math.: ConimunicaLion de M. E. Borel, le 7 mars 1901. 



ESQUISSE d'une TIlÉOUlE DE I-\ CROISSANCE. 87 

Douc^/ai/c le procluil de deux dcyrcs revient à faire le jjro- 

duit de deux opérations Jonelionnel les. 

\_ 

Enfin y = xP cquiNanl à x = y'' -, <lonc le dcj^n'; rie la fonction 
inverse d"* une fonction est l'inverse du àc^Yé de cette fonction. 

Voici les prcmitrcs définitions qui nous sont imposées j)ar la 
considcralion du mode de croissance le plus simple 

y = xP , 

Après celui-cij le mode de croissance qui se présente le plus 
naturellement est 

y = e^. 

Dès que x est assez grand, l'on a 

e-^ > xP quelque grand que soit/>. 

Nous dirons que le degré de e^ est w. Nous choisissons cette 
notation, déjà adoptée par M. G. Cantor pour ses nombres trans- 
finis, pour mettre en évidence une analogie intéressante entre les 
deux théories. Mais nous n'insistons pas sur ce point, d'autant 
plus que notre théorie est complètement indépendante de celle des 
nombres transfinis. 

Avec ce degré co se présentent des complications que nous allons 
étudier : 

e^x^ est de degré w + n, 

x^^ e^ est de degré n -i- w. 

Donc, n étant fini ^o, l'on a 

w -t- n = Al H- (.0, 

c'est-à-dire que V addition est conimutative. 

Soient maintenant jK = e^, puis s = ^/; il en résulte 



z = e 



e* 



Nous dirons encore que le produit de deux opérations fonction- 
nelles donne pour degré le produit des degrés, c'est-à-dire que le 
degré de e'^^ ou 'f2(^) t3st co^. En général, le degré de ^m{^) 
sera w'". 

Nous dirons maintenant que le degré de log^ est l'inverse du 



38 CHAPITRK III. 

degré de e-^, c'est-à-dire — ou oj~% et, en général, que le degré de 

lo^niCC est ti)~'". 

/Vvec ces définitions l'on vérifie que l'on a 

WÎ'X Wl^=: WÎ'+P. 

Par exemple, 

Iog(e^") 

est de degré w"' w- ; d'autre part, 

qui est de degré co. Donc 

11 n'y a, jusqu'ici, aucune difficulté. 
Soient maintenant 

y = x^ de degré /i, 
z ■= e'^ de degré co. 
Ceci donne 

qui est de degré 

Prenons maintenant 

jj/ = e^ et x? =/"= e"-'^, 



^ est de degré /2to. 



( * ) Ces produits de degrés correspondant à des produits d'opérations fonction- 
nelles seront toujours écrits par nous au point de vue suivant : 

F(5)=/[9(-)] 
s'écrira 

F = /?. 

On applique à z l'opération 9 d'abord, puis au résultat on applique l'opéra- 
tion f. 
Ceci devait être dit, car l'opération 

F=/(9) 
s'écrit quelquefois 

F = 9/. 

Quand on adopte cette notation, on veut indiquer que l'on effectue d'abord 
(sur z) l'opération 9, et ensuite l'opération/. 
Pour nous, c'est le contraire. 



ESQUISSE d'uNB TIIÉOIUE DE LA CROISSANCE. 

On voit bien (|uc 

o)/i ^ no). 



3«J 



T.(t Diuhipllcalioii des degrés n^esf. pas, en général, com- 
niu/afi\u\ rCsl-cllc associative? 
Soient 



Tordre de j^ est 
l'ordre de logj^ est 

l'ordre de (logy)- est 

l'ordre de e<'°^'^' est 

Mais 

Donc 
Donc 

Donc 

a{bc) = abc. 

La multiplication des degrés est associative. 

La multiplication est-elle distribiitive par rapport à l'addition? 
Soient f{x) de degré a et g{x) de degré b. 
Soit ¥ [x) = J\x) g [x) , Le degré de F sera 



(co/i); 



oj/i; 



2-)(w;i); 



w ( 2 — ) (wn). 

(I0g7)2 = a72«. 



^2^J(W71)= W(2n). 



Posons 



\ = a -\- b. 
x= cp(_7), 
cp étant de degré a. On a 

F[?(j)] = /[?(r)]^[?(r)], 

Aa = a% -\- boi, 



c'est-à-dire 



4o CIIAPITRi: III. 

ou 

C'est dire que la multlpUcalion a droite est distribulwe par 
jappait à V addition. Il ii en est pas de même pour la multi- 
plication A GAUCHE. 

En effet, écrire 

m {p -\- g) =z mp -+- m q 

revient à ceci : poser 



(j) étant de degré/? et ^ de degré q\ puis former F(cr), F étant de 
gré 
Or 



degré m. 



en général. Donc, en général, 

jn{p -\- q) ^ mp -h mq ; 

ce que nous voulions établir. 

Comment obtiendra-t-on maintenant le degré de la fonction 
inverse 

en fonction du degré de \d. jonction donnée 

^ = F(7)? 
Prenons 

Son degré est 

I 

a>2 — • 

La fonction inverse est 
dont le degré est 



I I 

to - - 
1 (Ji 



En général, si le degré S est co^/ito"'', l'on reconnaîtra que le 
degré de la fonction inverse est 



I 



Oj'* — iO~-. 

n 



Esouissr: d'lnc tiikouie di; la cuoissanci:. /\\ 



On prend linvcisc. de chtKjue dc^ic coiuponanL ci ion rcii- 
rsc l ordre de c 
On écrira doue 



verse l ordre de ces degrés. 



= l02/ilo-^ 
Cl 

- = toWl-l tO-2. 



Si l'on se borne aux fonctions dont le degré n'est pas supérieur 
à (o", n étant un entier positif déterminé, mais aussi grand qu'on 
voudra, fonctions dont nous dirons que leur degré csl moindre 
que u)'^, on voit qu'avec les définitions adoptées dans ce qui pré- 
cède (définitions logiquement constituées), tout polynôme tel que 

i= ab -^ cde -\- fg 

définit une fonction croissante de degré de grandeur i. (a, b^ 
c, ' ' ' , g sont des nombres positifs ou l'un des symboles w, 03~' .) 

Jusqu'ici nous avons considéré des degrés de grandeur ou 
ordres d'in/initude analogues aux ordres infinitésimaux définis 
à la manière classique que nous rappelions au début du para- 
graphe. 

Mais, de même que, d'après Gauchy, nous avons donné une 
définition plus large des ordres infinitésimaux avec la notation ([jl), 
de même nous allons, pour les degrés de grandeur, donner une 
définition plus compréhensiçe. 

Un infiniment grand peut^ comme un infiniment petit, n'avoir 
pas un ordre déterminé. 

Il peut encore arriver ceci : 

Désignons par F(^ | 6) la fonction croissante de degré 

i = ab -{- cde -\-fg. 

Une fonction o(x) peut être telle que, £ étant un nombre 
positif aussi petit que l'on veut, l'on ait 






42 CHAPITRE m. 

Nous dirons alors que le degré de grandeur de 9 (.3:) est 

j = a{b)-\-cde-^fg. 

\{h) s'énonçant b parenthèse).^ 

Par exemple y^=^ x'^Xo^x est de degré m -\ ? ou encore de 

degré {m). 

Un infiniment grand de degré (3)cl)2 est, par définition, com- 
pris entre 

Un infiniment grand de degré 4^(2) est, par définition, com- 
pris entre 

e^^^-' et e'*^'^\ 

On voit que le symbole (m) peut être considéré comme 
représentant une certaine valeur approchée de nt. 

Les croissances régulières. 

Les fonctions simples, que l'on rencontre naturellement, ont 
un degré de grandeur tel que i ou /. {Voir paragraphe pré- 
cédent.) 

Nous di^^eXons fonctions à croissance régulière celles que Von 
peut comparer à ces fonctions simples. 

I. Soit, par exemple, une fonction '-^{x) telle que, pour x très 
grand, Ton ait 

e^^ >(f(:r)>e^-°' (p > p'), 

p et p' variant avec x. 

Si, lorsque x croît indéfiniment, on a deux suites de nombres, 
la suite des et la suite des p' séparées par un nombre p'^, on 
voit que le degré de cp sera 

co(p"). 

II. Si l'on a, pour x très grand, 

a;"e^°"> 0(37) > :r"'e-^^" {n<.n'); 
Si, pour X croissant indéfiniment, la suite des n et la suite 



ESQUissK n'iNR TiiLouii: m; i,a ckoissa.nci:. 43 

des /i' sont S('|)aré(\s pai* un iiomhic n\ nous poniTons dite alors 
que le de^ré de cp est 



Remarques diverses. 

Remarque I . — Nous n'avons pas parlé du quotient de deux 
degrés. A cause de la non-distributwité de la multiplication à 
gauche, cette notion n'est pas très nette. Nous l'introduirons de 
In manière suivante : 

Soit 

y = x^ 0,1 z = x^. 

Exprimons j' en fonction de z 

y=ià)\ 

Le degré de j' est a -^ • 

Nous l'appellerons quotient de a par p et nous dirons que le 
quotient de deux degrés <2, b^ en général, c^est le degré de f{x) 
en fonction de ^(x), 

f(cc) étant en x de degré a, 

^{x) » » b. 

Remarque II. — Nous ferons encore quelques remarques sur 
les degrés de grandeur. 

Comment, par exemple, mettre en relief la différence qui 
existe entre ces deux infiniment grands : x-^ cr-? 

Il suffira de remplacer x^ par log {e^"'), 

d'où 

c:c2— Iog(e'^')c, 



son degré est 



I 



C0J2 



(0 



qui est ainsi différencié du degré i de x-. 

Cette méthode est très générale et utile pour ce genre de ques- 



44 CHAPITRE III. 

lions. Elle va nous servir à étudier un fait qui peut paraître para- 
doxal lorsque l'on se fait, sur les degrés de grandeur, des idées 
a priori. 
Soient 

y = Iog[log(loga7)] + i, 
z = log[log(Ioga7)] 

deux fonctions qui sont très voisines l'une de l'autre pour x très 
grand. 

Les fonctions inverses sont respectivement 

X ^ e^ el X ^ e*^ 

ou bien 

{(i^^^Y et e«^\ 

Donc une même valeur, très grande, de ^, donne des valeurs 
très grandes poury et z^ très voisines, de même degré de gran- 
deur, tandis que pour une même valeur, très grande, donnée à 
j^ et à J3, l'on obtient deux fonctions x de degrés différents; cela 
peut sembler paradoxal. 

Pour nous rendre compte de ce qui arrive, évaluons avec plus 
de précision le degré de y. 

Posons 

iio= eï— eiog3J^+i= elog2a7. 

Posons 

Le degré de u^ est 
Or 
son degré est donc 



-1 



eiMiM~- =6(0 



y =:log2Wi, 



(U~2(jQ) 1, 



Voilà mise en évidence la différence du degré de y avec celui 
de z qui est 



w 



Nous voyons ainsi comment l'on fera la distinction entre les 
degrés de deux infiniment grands très voisins. 



ESQUISSE d'une THÉORIE DE I-\ CHOISSANCE. 4'i 

Rcnianjuc lll. — Prenons l'inlinimcnt ^rand le [)lu.s simple .r". 

Son (legrr est//, eclui de sa dérivc^c est //, — i, celui de son 
intégrale est n -\- i . 

Est-ce général? 11 est clair que non; par exemple poni- <"', la 
dériv('(^ el l'intégrale ont même degré que e^. Mais voici ce (jue 
Ton peut dire : 

On peut intégrer une égalité asjmptotique. 

Soient deux fonctions /(.r) et g{x)^ dont le rapport croît indé- 
finiment avec x^ 

Z^"^) / X / ix 

'^— — - = cp(^) (pour X assez grand), 

^{oc) étant une fonction croissante. 

Puisque Von peut intégrer une égalité asymptotique ('), le 
rapport 

f{x) dx 



f 



F(^) 

Jn^' G(ic) 

g{x)dx 
X 

est égal à 'f (Ç), ? croissant indéfiniment avec x. 

Mais, parce que l'on ne peut pas, en général, différencier une 
égalité asymptotique, nous voyons que, étant données deux 
fonctions croissantes F et G dont le rapport est une fonction 
croissante, il peut arriver que le rapport de leurs dérivées y : .^> 
ne tende vers aucune limite, lorsque x croît indéfiniment. 

Si donc, y étant infiniment grand, '—, e,sl infiniment grand, 
de degré un, par exemple^ 

y dx 



f 



y 

sera de même degré. 

Prenons un exemple, soit 



(') Voir II. PoiNCARÉ, Sur les intégrales irrcgulières... {Acta mathe/natica, 
t. VIII). — Voir aussi E. Iîorel, Leçons sur les séries divergentes; rgoi. 



40 CHAPITRE III. 

on a 

y' 
y 

de degré un] donc l'infiniment grand 

y 



/X 



de degré un, ce qui nous renseigne sur le degré de l'intégrale 
dénominateur. 

Cette remarque est donc très utile. Nous la compléterons par 
ceci : 

Soit une fonction c)(^) à croissance régulière^ c^ est-à-dire 
ayant un degré de grandeur déterminé^ si sa dérivée est encore 
à croissance régulière^ Von obtient immédiatement le degré de 
cette déri^^ée, d'après la règle de l'Hospital. 

Si 

o'{x) 

a, pour ^ =r= co, une limite, cette limite ne saurait être autre que 
la limite, pour ^ = co, de 

o{x) 

limite dont l'existence est ainsi démontrée. 
Par exemple, si '^{x) est de degré 

top + n, 

c'est-à-dire comparable à 

f{x) = a7"e^°; 

si cp'(.r) est à croissance régulière, son degré sera celai de 

f'(x) = X" pxp-^e""'^ -+- 7ix"-^e-^', 
c'est-à-dire que le degré de 'f'(^) sera 

ojp 4- /? -h p — I. 



KSQUISSE d'une TiiKoiiii: i)i; i,A cnoissANci:. 47 

Conclusion. - Nous pouvons résumer ainsi ce (jue nous scnons de 
(lire sur la llu'orit; de la cioissanec : 

Le dej^ré de rinlinimenl j^rautl x'^ est /i, 

•''m 

» » » c'j'" est (I)'", 

» » » Iog/,i(r) esl to-'". 

I^e symbole to est déliui, en outre, par ces règles : 

oj H- /i = /i H- oj, 

en général, la multiplication des degrés n'est pas coMMUTATivii;, elle est 
associative; la multiplication a droite est seule distributive, par rapport 
à l'addition. 

Le degré de la fonction inverse s'obtient en prenant l'inverse de chaque 
degré composant et en renversant l'ordre des termes. 

Par là les fonctions à croissance régulière sont facilement définies et il 
est des règles concernant leurs intégrales et leurs dérivées au point de vue 
de la croissance. 

Les critères de convergence et la théorie de la croissance. 



Reprenons les critères de Bertrand, 
Les séries 



Xjj.(^)log5j.(^) 



sont toutes convergentes. 
Les séries 



x= 1 



Xa(^) 



sont toutes divergentes^ quel que soit a. Ecrivons donc 

(i) \^{x)<\.Xx)<. . .<\{x)<.. . ., 

(1) . . .l^(x)\os^{x)< Xjj,_i(^)logjj,_i(>7)<...< Xi(,r) log:r. 

Nous pouvons, avec P. du Bois-Rejmond, considérer les suites 



48 CHAPITRE III. 

d'inégalités (i) et (2) comme définissant une « jonction 
idéale » t(^) 



A certains égards la définition de ^(.r) ressemble à la définition 

des incommensurables avec celle différence que, y/'2, par exemple, 
étant défini par deux suites, on peut définir très nettement 

A étant commensurable ou non, de même 

/a A, —, 

Il j a là cependant un symbolisme qui pourra être commode, en 
lous cas une manière rapide de parler. Par exemple, la série 



.1 = 1 



F(^) 



converge, si, lorsque x est assez grande on a 

F(^)>-(.r), 

et diverge dans le cas où l'on a 

FixX-zix). 

Le concept àe fonction idéale de P. du Bois-Rejmond se relie 
au concept de nombre transfini de M. Cantor. 

Partant d'une fonction croissante quelconque nous pouvons 
former une infinité dénombrable de fonctions de plus en plus 
croissantes. 

Le théorème de P. du Bois-Reymond démontré précédemment 
nous donne une fonction plus croissante encore que toutes les 
précédentes. 

Partons de celle-là, nous formons une infinité dénombrable 
de fonctions de plus en plus croissantes, etc. 

On voit que ce procédé n\i pas de limite, que la numération 
des fonctions croissantes nest pas dénombrable, ne peut être 
réalisée au moyen de suites indéfinies analoirues à la suite natu- 

.y O 

relie des nombres. 



i:s(,M issi; 1)1 m; Tiir;<nuK i>K i,\ (:iu>iss\n<:i:. 4o 

Poser rcMslciicc (rime lonclioii i(l(';ilc \r\\c. (jiio t(./') c'est 
admelire un iioiiNcaii iikxUî (riiidiiel ion eiieliaîiiaiiL non pins une 
ut/f/u/c (Irnomhidlf/c de pioposilioiis mais nn cnscnthla iraiis- 

Kallaeljons anssi la fonelion Idéale T(.r) à la Lli(';()ii(; des inlé- 
i;raies eoin eii;(Miles. 

Tonles les inléi;FaIes divergentes se ramènent à l'une, par 
exemple à 

/ dx. 

Posons 

et 

f{x)=y. 
D'où 

/'(^)=?(7) 
et l'intéiirale divergente devient 



r dv 

J ?(r 



y) 

Regardons 'f (j^), c'est-à-dii-e /'(^), comme fonction de j-, 
c'est-à-dii*e de/(x). 

Prenons, par exemple, 

le degré en jk est 



I r I -+- a 

IH 1 -h . . . + 

U) to- to!-'- 



ponr que l'intégrale diverge il faut a^o. Donc le degré àef'[x) 
en fonction de f(x), en supposant les croissances régulières, est 



( ' ) Voir P. DU Bois-Heymoxd, Théorie générale des fonctions, Paris, Ilermann, 
18S7, et G. Cantor, Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis 
{Math. Annalen, t. XLVI, ou dans les Mémoires de la Société des Sciences de 
Bordeaux, t. III, 5'= série). 

Voir enfin les articles de MM. Evellin et Z. et de M, Boi^el dans la Revue 
philosophique en 1899, 1900, 1901 et les Leçons sur la Théorie des fonctions, 
par M. E. Borel, 1899. 

- lî- 4 



5o CIIVPITRIÎ ni. — ESQUISSE DUNE TIIEOIIIK DE L\ CHOISSANCE. 

moindre que 

I I I -h a 



I -r- 



(0 OJ- 



imV- 



(olIo). 



En tant que fonction de f{x), la dérivée f'{x) a une 
croissance limitée. 

La limite est la croissance de la fonction idéale t(^). 

Nous retrouvons sous \\\\ nouvel as})ect celle fonction idéale, 
fronlière de séparation des fondions F(^) qui donnent des séries 



et des intégrales 






convergentes ou divergentes. 






CllAPlTIHÎ JV. 



SEIUKS |;T INTEGRALES MULTIPLES. 



Se ries m u II, iples . 
Soil une s(''ric à icvmcs po.sùf/s 

Pour que la série converge, il faut et il suffit que la somme d'un 
nombre quelconque de termes reste inférieure à un nombre fixe. 

Dans ces conditions, l'on démontre que la somme de la série 
est la même quel que soit l'ordre des éléments. 

La reclierche de critères est liée au mode de groupement des 
termes, il est évident que : 

A tout critère pour les séries simples, et à tout mode de 
groupement des termes de la série double correspond un critère 
pour cette dernière série. 

L'arrangement le plus simple consiste à poser 
d'après la correspondance réglée par ce Tableau : 



p = i 





U-l 


"5 


ih 


î/14 


U; 


«8 


ihz 




"3 


II- 


If-il 






«0 


?/,, 









Prenons, par exemple, (^'3.0 = u^. 



J2 CIIAPITRK IV. 

11 est clair que le rang 8 de ce terme est compris entre 5 et (j 
rangs extrêmes de la diagonale (jui passe par 8 et de la diagonale 
précédente; d'où, en général, 

m^i + 2H-3-i-...-i-(a-i- 1^ — I), 
m > I -h 2 + 3 H- ...-+-( a -f- p — 2 j 
ou 

( a ^1- 3 — 2 'U a -1- 3 — 1 ■) ^ ( a -f- 3 — I ) C a -4- 8 ) 
'■ ■ < m _ '■ ■ !— , 



I 



c'est-à-dire, dès que (a + ^3) est pris assez grand, 



i(a-f-i3)2<a<^(a-t-|3)2; 



or la série 



converge, si l'on a 



Donc la série 



22] "^''^ 



converge, si l'on a 



^'■p< (oc + pr-^P <p>°'' 



diçerge, si V on a 



^a,p> 



(a-+-[^)-^ 



Voici une première règle fort utile. De celte règle, on en tire, 
d'ailleurs, une seconde, ainsi qu'il suil : 
A condition que l'on ait 

s > o, 
l'on peut écrire 

Posons alors A 

le minimum pour a^-j- [îi^ a lieu pour 



SKiiiKs i;t iN'n;(;iiM,i:.s Mi:i/niM.KS. 
Ca' MiiiniuiiMi (>sl donc 



(iï 






I/oii Noil nhirs ([uc, si ron a s >> ^, Z*'/ .sv'/v'c double convcrf^e 
ccrUtincincnl , si /'o/t a aussi 

I 

<'a,3< 



a^ -1- :J^ 



liCS groupements correspondent ici aux aires limitées par l'axe 
positif des a, Taxe positif des [^, et des droites a -f- [^ = const. 

Faisons un autre groupement en prenant tous les points à coor- 
données entières de l'aire limitée par les deux axes positifs et par 
une branche de la parabole 

y = (x — xo)^ 

(xo sera un paramètre, commet, croissant indéfiniment). 

Lorsque Xq tend vers V infini, il est clair que le rang m de Um-, 
qui correspond à <'a,p, tend vers l'aire limitée par les axes et la 
parabole, puisque m est le nombre des carrés extérieurs à la 
branche gauche de la parabole. 

L'aire étant '-4-y l'on a 



j 



T?. . , \ ô tend vers zéro si Xr^ 

m= ^{i — t) , ,,. ^ . " 

3 ( tend vers 1 injini; 



or la série 2. ^^m est convergente, si l'on a 



"""^1^9 (?>o). 



Donc la série ^^ <'a,;3 converge, si Von a 






OU encore, si l'on a, 



t^a,3 < ^ (^>3). 






54 



CHAPITRE IV 



Il est toujours sous-eiiLendu : « à partir de certaines valeurs 
pour a et [j >). 

On peut multipliera l'infini ces critères par le choix de courbes 
convenables du plan (a, [j). Ces critères s'étendent, d'eux-mêmes, 
aux séries /i-uples. 

La question se rattache d'ailleurs à celle de la convergence des 
intégrales multiples. 

Intégialcs mulliples. 



Nous supposerons encore que c'est le champ d'intégration qui 
devient infini et non point l'élément différentiel. 
Soit, par exemple, r 



'=.( / -/ 



dxx dx=i . . . clx,j 



Nous poserons 



X2 = /' slncpi COSO2, 

57,3 — /• sin cpi sinç)2 COSO3, 



alors on a 



^ ^ r^ â(xu -ro, ...) f^ ^ j^ r" dr 



La convergence exige que l'on ait 

'la. — /i H- I > i 



ou 



a> 



n 



comme il est bien connu. 



Cette règle s'étend de suite au cas où l'on a 



r r rcir,..,dx„ 



le symbole Q(^/) désignant une forme quadratique définie posi- 
tive en ^, , ^'2> • '•) ^'n- 



SKHIKS i;t iNTi;(.nvLi;s mui/iii'lks. 



Mais dans loiil ceci Ton siij)|)()S(; mic ccrlairx; ayini'Ulc i(.'lali\(,' 
au\ variahlcs. Nous allons aborder un cas pins ^('ncral. 
Soil, par cxen)[)lc, à clndicr 






y^' 



'ri"a(;ons les courbes -f'^ -\~ J '^-- /• l/on a 

ilx ily —- r/S 
clcnicnl de surface. Donc 



J 



r"^ d^ 
J ~T 



Posons 






l clanl considéré comme (ixe, a vai iant de o à i . 

Fie:. I. 




L'aire S(OAB)est 
S 



^ ' ^ 



1 1 
=^ t i-" — • 



'■a*^ 



V a 



a J „ / I I 



('), 



■^U-.3-') 



1 1 



S = A;^ P, 



(') Tof/-, par exemple, le Cours aulogiapliié de llcrniite. 



56 CIIAPITUK IV. — SÉRIES ET INTÉGRALES MULTIPLES. 

A élanl connu en Ibiiclion de a cl [i, d'où 



d'où enfin 



1 1 _ 



y. 1 1 

/ - -+- 77 — 2 



La condition nécessaire et suffisante de convergence pour J 
est donc 



ou 



I I ^ 

a ^ 



I 1 

a (j 



Ceci s'étend aisément à l'intégrale 

r/j"i djr.j, . . . dxa 

1 



_ r" r* r" dxx dx 

J J J x']' -\- x'i'- ■ 






Za condition nécessaire et suffisante de cotiçergence poui' K 

est 

\ 



1 



L'un des exposants doit dépasser F^^/î^Ve si tous les autres sont 
très grands. 

Nous n'insisterons pas sur ces questions et sur les relations 
entre séries /i-uples et intégrales /?-uples. 



I 



CIIAI'ITIU': V. 

SKIUIÎS I)i: IM [SSANCrCS A UNK \ VlUAlil.i;. 



Couver<jcncc des séries à une iKirùihle. 



r> 



Soit 

«0 H- «1 ^ ^- • • • H- <^n X" + . . . , 

(]ancli)'a doiiiK' la r('gl(3 siiivanlc retrouvée indépendammcnl par 
M, Iladamard : 

Soit )v la plus grande des limites de la suite 

• ••, 'v^|«/.|, ..., 
ee cpie l'on peut éerire 

lilll v/| Un 1= À, 

le rayon de convergence de la série est 

T 

L'on distinguera donc qualre cas : 

X = O, p = co, 

2*' et 3*" : A fini, c'est-à-dire (par un changement de variable) 



). 



,0 = I 



et ce cas se subdivise en deux suivant que 2_, ^^n converge ou non; 



4' 



A = a;, p = o. 



Nous laisserons ici de côté ce dernier cas, celui de la série de 
Tajlor toujours divergente. 

Ce paragra|)he est consacré au premier cas et nous supposons, 
en outre, sauf indication contraire, tous les ci a positifs et x po- 
sitif, comme nous l'avons dit au commencement de l'Ouvrage. 



58 ciiAiMTUi': V. 

Fonctions enLières. 

Nous avons donc 
(i) lini y Un — o 

cl nous nous proposerons d'éUidicr la relation entre la croissauc*.' 
de la fonction entière représentée j)ar la série cl la décroissance 
des coefficients a,i. 

I^a (jueslion se scinde en deux dont voici la première : 

PiiEMiEii piioBLi^AFK. — Qucl cst Ic dcgié de grandeur de Ici 
fonction, le degré des coefficients étant donné? 

Posons 

D'après (i) Ton voit que '-^(/i) est une fonction croissante de n. 
fixons son mode de croissance. 

Supposons z(n)= //P^ le degré de grandeur p étant positij, 
coniniensurable ou non. 

Nous allons voir (pi'il est un terme de la série 

([ui surpasse tous les autres et donne à la Ibnction son degi'é de 
grandeur. 

J^'on a, en eirel, 



d'où 

tt *>i «X — • 

m"'i' 

Nous considérons x comme ayant une valeur déterminée. 
Ecrivons 

7 = ^-'S 

y est aussi déterminé et y croît avec x. Le terme général s'écrit 

alors 

y \ n "t 






SKUIKS DK PUISSANCKS A UNI-: VMUMUi:. ')[) 

) riaiil (ixc nous avons deux cah'^ories de IcniH.'s, ceux dont I(; 
rani; /// l'sl sii|)(''ri(iir à y cl ceux donl, le laiij^ csl luIcruMir à j\ 
lùudioiis les deux S()MHM(;s coi rcspoMdanUîS. 

A. S()/N/)t(' (/('S Icrincs lels (jue Ton ail itt'^y. l*'.ciivoii.s 

y_ ^ ' 

m ni — y 

y 

Soient /;/' — i cl ni' les dcuK entiers comprenante^. 
Nous a\()ns ici 



Cl ou 



m ^ ni'^y^ 



ni — y m — ni 
I -i — > I H 



D'aillcurs m est ijrand puii([ue x el y sont grands. JJonc 



m — m \P"t 
m 



(î,„ tendant vers zéro lorsque œ croît), 
D'où Tinégalité, assez serrée, 



a ,n X'" < ^ ^ -, ^ nid ni 2 y). 

'" / (jI> \m—iii ^ — - ■y ' 

Donc la somme des termes de rang 

tn' , ni' -h i , /n'-î-'2, ..., co 
est inférieure à 

I -4- e-'''^ e--/'-\-. . . = 



ei'— i 
Or l'on a 

P > o, 

donc est un nombre /ini comme p. (Si l'on a p >> i , ce 

nombre est certainement inférieur à 2.) 

Ainsi, quelque grand que soit le nombre déterminé x, nous 
Clivons dans la série une infinité de termes sans influence sur le 
désiré de s:randeur de la série. 

B. Considérons maintenant les termes dont le rang- est inférieur 
à m' . Leur nombre est m' . Le plus grand d'entre eux vaut à lui 
seul presque toute la somme et détermine par suite le degré de 



r)0 CIIAl'ITHi: V. 

la fonction, (hicl est ce tcrntie maximum 

Ecrivons 
d'où 



'(^) ^^ f l 111 1 



B(^) est maximum pour 



loir -3 = \oiro — I 

y 

e 



Nous prendrons donc pour M le plus grand entier contenu dans 



z 

e 



M = p: 



L'on en déduit 

Le terme maximum est 

Enfin l'on a 



= s. 



y ^ ^s. 



cisX-'^l—] >eP\ 



f(x)>ei's 



et V inégalité est assez serrée, car le rapport de ce terme 
maximum à un autre terme est très petit. 
D'ailleurs, l'on a aussi 

f{x)<yeP^, 

car nous avons m' termes [m'^y)., et la série est inférieure au 
terme maximum répété m' fois. 
En définitive, écrivons 



nous aurons 



s ^ a (a < i), 



ps = — — — pa (pa<.p), 



p - 

= — .r" — pa . 



si:im;s di; im iss vnciis a i m; \viu\ui,i;. 



6r 



(I ou 



'- .. /' 



/'" 



:/('^) 



1 /' 

ri' ,? 



ri' — /(;/ 



c 



oiichioMS nai" ce tiii.oi; i \ir. 



'j>( /i ) ('•laiil (le (l('i;i('- /^, 
/{jp) est (Ici (lei^ré w ( — j • 

Plus i;ciicialcincnl (il iTj' a j)rcs(juc ricii à iiiodificr aux raison- 

lU'MHMl IS ) 

Si (fin) est de degr-c'' (p)-, 



fix) sera de dcgrc'; (o ( — j 



Nous avons, clans la démonstration^, supposé que/; était un nombre 
positif, commensurable ou non; p pourrait, bien entendu, re- 
présenter un degré de grandeur tel (|ue i ou j (Gha[). \\\) dont 

nous savons former l'inverse -• 

P 

Les premiers travaux sur les séries entières, à ce point de vue, 
sont ceux de M. H. Poincaré (')et de M. J. Hadamard(-). Ce 
dernier a précisé et simplifié ses résultats dans une Note(^) que 
nous allons reproduire ici presque textuellement, en conservant 
même le langage relatif au domaine complexe. 

Soit une fonction entière 

fi^X) = «0 •+• t/ l ^ -r- . . . -T- a m ^'" + . • . . 

Portons en abscisses les valeurs m et en ordonnées les valeurs 
a ^ log — ? formons un polygone de Newton W passant par 

(lin 

une infinité de points et laissant tous les autres au-dessus. Les 
coefficients angulaires des côtés deviennent, à partir d'un certain 
rang, positifs et même de plus en plus grands. 

Désignons maintenant par r, le logarithme du module maximum 



(') Bulletin de la Société Matliémctlifiue de France, i883, 

('j Journal de M. Jordan, 1H90. 

(') Société Matliéinalifjue de France, p. iSG; iSgfJ. 



(\2 



CUVIMTKK V 



(le la fonclion sur la circonférence de rayon ^^(; léel). Comme le 
Jogarilhme du module d'une fonclion analytique est une. fonclion 
harmonique (on le vérifie de suite), /j croît avec \. 

Uonc le lieu G du point (ç, 'r\) est une courhe tournant sa con- 
cavité vers les r, positifs. 

Soit (^, r, ) un point de G, les exj)ressions des a,„ par des inté- 



<^rales donnent de suite 



ou 



I «/;/ I < e"' 



r, — m 



o. 



Si l'on annule le premier membre de cette dernière inégalité, on 
a \di polaire de (ç, r\) par rapport à la parabole à axe vertical 



ni' — 2 \J. — o. 



Formons donc le contour G| réciproque de H par rapport à P, 
la courbe G est tout entière au-dessus du contour G,. 



IM! 




I 



I 



Nous allons, en second lieu, former un contour situé au-dessus 
de G. 

Soit donc jj. = my. — J3, un côté du polygone fl. Le point (a, [S) 
appartient à la fois à n et à P, donc il est un sommet de G| . 

L'on a donc 

log— — > ma- fj 



SKIIIKS l)K l'IlSSANCKS A UNK \UU\ltl,i:. Ci» 

OU 

IN)i'l;ir)l (liiiis rcxpi'cssioii de /{•f'), \\)i\ ()l»li(;ril, noiir ç <^ a, 

! — el-'^ 
Vov\\\{)US donc. l;i coiirlx^ 
(D e-^+e-r— I 

(jiii admcl o.r, or j>()nr nsyniplolcs cl l'osLc dans l'angle x' oy. 

V\\v (diaqne poinl (a, [ii) sommet de i)^ faisons passer une 
courbe, Leile ç\\\c. (Y) 

(Ta, s) e^-a-h e-(.v-p'=: I. 

Rejoignons ces coui'bes par leurs tangentes communes, nous 
avods un contour niixlilignc C2. La dernière inégalité écrite, com- 
parée à l'équation d:; la courbe (ra,3), mon Ire que la courbe (^ 
est tout entière au-dessous de Co. 

Les deux contours C'[ et C!, , qui se rapprochent sans cesse l'un 
de l'autre, limitent la fonction. Ils la représentent donc asvmp- 
tofiqucment. 

Cette concr[)tion et cette image géométrique devaient être 
indiquées ici. 

Nous parl(;rons, enfin, d'une ISote récente et fort intéressanle 
de ^L E. Le Ro\('), sur laquelle nous reviendrons, d'ailleurs, 
dans le paragraphe snivant. 

]\L Le Boy donne des représentations asymptotiques de fonc- 
tions entières en passant par le calcul asymptotique de certaines 
intégrales asymptotiquement équivalentes aux séries considérées. 

Prenons un exemple 

I 
( n î ;/' 



(') Celle Note, parue dans le JJullelin des Sciences Malliétnatiques, qiini(nie 
datée de novembre 1900, n'a été publiée, en réalité, qu'a/?/e5 le mois c\c janvier 
1901, époque à laquelle .M. Bord a fait la Icron d'après laquelle je rédige ce para- 
graphe. {Note du Rédacteur.) 

La priorité de jtuhlicalioii de .M. Le Boy n'en est pas moins inconlcslable. 

E. H. 



6^1 CjrAPITRK V. 

M. Le Roy oblienl, pour x z=i y^^ 

IrJl [z21 -' 

VP 

cl il Indique qu'il obtient ainsi plus de, pri'cUion que M. J. Hada- 
niard. 

Nous renverrons à ce Mémoire, en faisant remarf|uer que la 
mélliode de M. Borel donne immédiatement une a|)[)ro\imalion 
assez grande. On le voit par cet exemple, en remarquant que n\ 
est comj)arable à n" ^ donc(/i!)^ à n"P] '-p(/i) est donc com|)arable 
à iiP^ c'est-à-dire d'ordre /:>, el /(x) est bien, pour x = cc^ aj)proxi- 

mativement d'ordre w-- 

P 

11 nous faut, enfin, ti'aiter le problème inverse; mais nous 
ferons, auparavant, une petite remarque : la considération des 
ordres d'infinitude des coefficients montre immédiatement, sans 
qu'il soit nécessaire d'y insister, que /'o/z augmente beaucoup la 
convergence d' une série par des groupements de termes. 

Deuxième problème. — Peut-on ^ du degré de grandeur de 
la fonction entière^ déduire le degré de grandeur des coef- 
ficients? 

Cette question a été abordée, ])our la première fois, par 
M. H. Poincaré, puis par M. J. Hadamard(^). 
Nous avons montré ceci : 



Soit 



cp(/n - —= 

s Cl a 



si '^(/i) est, en /?, de degt"é (a),y(^) est de degré ci) — 
Nous en concluons de suite ceci : 

Mettons le degré de ,/(j") sous la forme 



(O 1 

to — ou to - 

a a 



(suivant les cas). 



(') Voir V.. Borel, Leçons sur les fonctions entières^ p. 62-70; 1900. 



\ 



SlilUKS l)K PDISSANCICS A II.NK VAHIAIll.i;. 65 

Si <f{n) a un dc^ri'' drlcrminr, ce, (Ici^fé csl (y.) ou '/ ; car", si 
Ton iiviiil 'o{n) ' .\ n\^^ fi-<ay*(./-) nv, pouirail pas «Hrc du (h.'j^rc 
( I () 1 1 1 1 (' . 

Si Ton l'cril '^{ff) - fi^-, ^'i considcranl v comme fond ion de //, 
Ton pciil afTirinor (|U(î Ton a 

plus [)Clile liiii (yj — a. 

(n—oo ) 

L'on voit que la (question ne comporte pas de réponse absolue. 
Enlevons, par exemple, à une série entière une infinité de 
termes infiniment espacés 



(Z n OC 



nous pourrons le faire sans que Ja fonction soit sensiblement 
modifiée. Or ceci nous donne 

CD ( N ) :^ - =00 

^ o 

pour les indices N des coefficients qui ont été supprimés. 

La croissance de o(^n) peut être très irrégulière sans qu'il en 
soit de même poury(^). 

La difficulté du second problème est infiniment supérieure à 
celle du premier. 

Cas du rayon de convergence fini. 

Nous emploj'ons encore ici le langage relatif aux fonctions 
d'une variable complexe. Par un changement simple de variable, le 
rayon de convergence R devient égal à un. 

Soit donc 

f{x)=-aQ-\-axX-^.. .-^ a,iOc"--^ . . . . 

Les a sont positifs, x est positif et inférieur à un. Nous sup- 
posons divergente la série 

A = «0 -h «1 -r- «2 -f- . . . -H a,i^ ' • • •, 

en sorte que le point + i est un point singulier de f{x). Nous 
allons étudier la croissance de f {x) lorsque x s'approche de ce 
point singulier. 

. B. 3 



66 



CIIAPUUE V. 



Tout d'abord l'on peut comparer f{x) à une autre fonc- 
tion g{x) de ménic nature, c'est-à-dire convergente pour^<< i et 
la série des coefficients étant diverg^ente, d'après une proposition 
de M. Gesàro, dont l'origine est une Note de M. Appell ('). 

Nous suivrons l'exposition de M. Gesàro (- ) : 

On a donc 

la série des coefficients b étant divergente. 
Supposons que l'on ait 

lim{ — 

Nous avons donc, par définition même, 

b,i{^ — z) < a a <:ba(y.-^s), 

lorsque n est supérieur k p (p dépendant du nombre très petit s) 
d'où 



a 



P-^ 1 



(avec o << B << i), ou encore 

/(rr)<(a-+- z)g{x)^[aQ-' 6o(a -f- s)]-^. . .-^[a,,— bp{y. h- £)].r/% 

ou 

f{x) iaQ — ...)-h{ap — ...)xi> 

<^ CL H— £ -I- 



Tout de même l'on a 



fioo) 



a — £ -1- 



g{^) 






d'où ce résultat : 

TriÉORÈME. — Si an '. b,i tend vers une limite y., l'on a aussi 



nm 



{ /M 1 

iL^(^)J 



Mais le premier membre /'. g peut avoir une limite sans que 

(•) Sur certaines séries, e\.c. {Comptes rendus, t. LXXXVII). 
(-) Accademia délie Scienze Jlsiche e mateniatiche di ISapoli; décembre 
1893. 



siennes i)i; puissancks a unk vaiuaiu.i:. 67 

a,i ; hii (Ml ;ill une, par cxiMnpIi! si les lacunes ne s(; coiTcspondcMil 
pas. 

l/on jXMil f[ncl(picr()is Icvci" la diTliciiIh' par l'arl ificc siii\aiil : 

f(x) 

'- — a^i-^- (ao-h fii).r -^- . . . i-(ao -+- «i -^ . . . -H an).'r'^ -^- . . . , 

I — x 

el Loui de imhrie 

I X ^ 

Supposons donc que l'on ail 

li / ^o+<^i + -- •-+-^« \ _ 
n^^\Oo-^- bi-i-. . .-^ b,J 

l'on aura, d'après ce qui précède, 

.r=ll.^(-^)J 

théorème plus général que le précédent. 

L'on démontre aisément, d'ailleurs, que si la limite a existe, 
la limite ^ existe et est la même. L'inverse, évidemment, est 
généralement faux. 

Nous allons appliquer ceci : 

Exemple I. — f {x) == ^ /i^^' x'^ ; comparons à 



([ — x)P I i, 2, . . ., /i 

on a 

lui) -^ — ^lim^^ =T(p), 

l^n p{p -^ i). . .{p -i- n — 1} 

d'où 

lim(i — x)P{]P-'^cc ^ iP-'^x'^-v. ..) = r(/?). 

x=.\ 

Nous voyons l'allure de /(^) pour ^ = i . 
Exemple II. — /(.r ) ^ >^ a,;^" avec 

\\ïn{n^-na,i) = A- )» 

( ' } Voir Appell, Note déjà citée. 



68 CHAPITRE V. 

ou, plus généralement, avec 

l'on a 

Vim{i — x)pf(.T) ^-/^T{p). 

Exemple 111. - / (.r) — x"^-\- x^ -^ x^ -^- . . .\ comparons à 

I 

= 1 + 37 -r- :r2 -4- . . . 



I — X 



L'o 



n a 



5 



(0 est le nombre des termes àe f[x) de rang inférieur ou égal à n. 
Si — admet une limite Q que l'on peut appeler la fi'équence des 
entiers a, l'on voit que 



il 
I — X 



la série donnée est asympto tique à — ^^— au voisinage de ^ = i . 

Choisissons un exemple particulier que l'on rencontre dans la 
tliéorie des fonctions ellipti(|ues, 



Ici 



n ^ 00 /£• 



d'où 

lim (i — 37) (37 -h 37"^ + . . .)= o. 



x—\. 



Reportons-nous à \ Exemple 11, en faisant 

p = - i k = i' 

1 

il vient 



limv/i — 37(^.r + 37*+ 373-r-. . .) = -\l~. 

X = \ '^ 

Puis formons 

[cp(37)]--î = ar^ -f-. . .-H A„37" -r . . . , 



sKiin:^ i>F- piissANCK.s A iJNK vauiaum:. Og 

Il est une somme de deux carrés, done A,^ rcj)résenl(i l(; nombre 
i\c9> pdi't ilioms de n en deux enrrc's. L'on a 

liind -./•)|'f(.r)p-- 7- 

SI doue - '- a une limite, elle est ^ ( -- '^st le noml)re moyen 
Il f\ \ Il ^ 

de manières possibles pour la déeom|)osilion de ii en somme de 
deux carrés). 

Nous renverrons, pour d'aulres exemples, pour d'autres appli- 
cations arithmétiques intéressantes, au Mémoire de M. Gesàro. Sa 
méthode donne surtout, en somme, des représentations asympto- 
tiques en (i — x')~P de la fonction au voisinage du point un. Nous 
allons procéder maintenant à une étude directe des séries et nous 
comparerons les résultats à ceux obtenus par M. Le Roj dans le 
Mémoire cité déjà. 

Étude directe et comparaison avec une méthode proposée 

par M. Le Roy. 

Dans la Conclusion de son Mémoire (^) sur les zéros des fonc- 
tions 'entières, M. Borel disait ceci : « Si la fonction entière 
devient très grande lorsque le module de la variable augmente, 
c'est surtout parce que, pour chaque valeur du module, un terme 
devient très grand et non parce que beaucoup de termes 
deviennent très grands. » Ce principe a trouvé déjà plusieurs fois 
son application dans cet Ouvrage. Nous allons faire usage ici, 
pour une série à rajon de convergence y?^i, d'un principe tout à 
fait pareil. 

1. Soit donc la série : 

f{x) = aQ-\-a^x-^.. .-ha/j^"-i-. . . , 

avec 

a,n=e'"-\ o</r<i. 

Donnons à x une valeur fixe et cherchons le terme maximum 



( ' ) Acta Mathematica^ t. XX. 



CHAPITRE V. 

i; 

Annulons la dérivée logarithmique 



Avi'^-' -1- loga? = o. 

Ceci donne le rang n du terme maximum. Pour parler très 
exactement, Ton prendra l'entier le plus voisin de n. 
D'ailleurs, la règle de l'Hospital donne 

lim (^ ' ) = i; 

donc, au voisinage de un l'on peut écrire 

/ £ lend vers zéro 
= (/c -^ s)"' /i'~^' I si 37 » un^ 



1 — X 



ou /i » oo, 



d'où l'expression suivante du ternie maximum 



k-\-Z 






anoc"- = e< ' ~'^" ) " ■ = e x - - / — g 



Ce terme donne le degré de giandeur de la fonction. 
Posant 

I 



I — X 



Von voit que f{t), pour t = y:, est de degré co ( — —- ), a,i étant 

de degré iùk en n. 

Si A' est très voisin de un, le degré de grandeur de la fonction, 
pour X r= j , est très grand. 

II. Soit maintenant la série 

V • 



avec 



•a..= e'"='". 



Ce coefficient est, en /;?, de degré to( i ]• Cherchons encore 

le terme maximum. L'on a 

\-n log.r- 



si:iui;s hK puissances a iink vaiiiauli-: 

il fiiiil donner ;'i // une valcnr Icllc (jiic 

I I 



lo-n (foi;//) 2 



-h loga? — (). 



('oninic 



Jo-.r. 



on a 



I , , , ( £ tend VOIS ^c'/'o 

=([ + £) lo g /f ^ . , 

— .T" / o ^ ^1 ^. tend vers «/i. 



Le leiMiic maximum est donc 



log« J _. g( log//)« 



" r ' 

Or 

Jog/i — (i — s')^; 

si l'on pose = t. le terme maximum devient 



i — X 

(1— £■)* {1 — e'jt 



{ i- ■-■■)'■ 



le degré de grandeur de /(t) est 

a)2x(j). 

On peut vérifier que f{x) ne dépasse pas beaucoup le terme 
maximum. Montrons, par exemple, qu'un terme de rang p = lï- 
(n étant le rang correspondant au maximum) est très petit 

P ^ r_i j_ 1 

ay;^/'< e'"S"L^ "^io;,wiJ^ 
n lui-même est grand, si x est voisin de un. D'où 

a/,57/^ < e i»*-'" (i > M > o). 

Nous sommes donc bien cei tains que l'on a 

Or 
est très petit à côté de e^\ (^'est ce que nous voubons obtenir. 



72 ciiAPiTiui; V 

fil. J)e la même manière, si l'on a 



on Ironvera que f{t} est de degré 

oV' + 'x(i), 
et nous pouvons dresser le Tableau suivant : 

f {x) ayant pour rayon de convergence un. 



Les ordres de a,n en m étant 

/? -I, 

(0 k , 



Les ordres de f{x) en seront 



I — X 



M [ 



I '< 



I ^ 



(0 I — 



0) 



w 



k 

V—k 

t02(l), 



M. Le Pioj, de son côté, vient de donner récemment (') une 
(( Méthode pour le calcul asjmptotique de certaines intégrales 
définies », méthode qui donnera des résultats relatifs aux « séries 
asjmptotiquement équivalentes à ces intégrales ». 

Il démontre, par exemple, que si a m (ou sa partie principale) 
est 



r 



(o<p<i), 



on a 



SI 



on a 



i 



/(•^) 



(i — xy-p 



PPi^m) 



/(.^•) 



{\og m)P 



(p > o). 



{i — x)(\og 



1 — X 



( ' ) Nous avons explique au Chapitre précédent comment les travaux de 1MI\I, Le 
Roy et Borel étaient indépendants, quoique le Bulletiji porte la date: Novembre 

1900. 



SKRIKS DK ITISSANCnS A INK VAHIAIM.i:. ^3 

Si 

I 

'^ /ti lovant lo'^^yfn .. .\i^i::J, ifn(\<)<j^,,/n y/ ^ / ^ /, 



on ;i 



Il (lomie encore 






(.r =: 1 ) i —X \ l — .-r 

on parlant do la série de Lanil)crt : 






2, 



1 



M. Le Roj a donc considéré des séries autres que des séries de 
puissances; il a considéré aussi le cas où la série des coefficients 

A — « 1 -h «2 -T- . . . -i- a„i H- . . . 

diverge sans que a„i soit croissant avec ///. 

Il était, au contraire, dans le cadre de ces Leçons, de ne prendre 
que des séries A dont le terme général a„i fut une fonction crois- 
sante de m. D'ailleurs, M. Le Roj a envisagé ce cas avec la série 

F(.-r) ^ ^«,,^«, rt„= e^og»)"-. 
En posant 



— 1^^— = — loirx. 



M. Le Roj obtient 



/ - 



F(.^)~rl/r:^ 



.T = ï 



iV logï 



lOL'i 



gnuB 



Revenons à la variables, 



/x(l — loïX) 

d'où 

F(a^)~/-c V 2 1/ -^ — ''. ^ e ^ 

En prenant, avec M. Borel, le terme maximum, on trouve 



74 CHAPITRE V. 

pour ce ternie 

.r(l — loR,») /- /--; — -. 

e 2 

On voit combien sont voisines les expressions données par 
un calcul asympLotique et par la méthode du terme maximum. 

Nous ne saurions, enfin, terminer ce Chapitre sans indiquer la 
mémorable étude, faite par M. J. Hadamard, d'une série sur la 
circonférence de son cercle de convergence (*). iNous en donne- 
rons ici un très rapide aperçu. 

Les travaux de M. Hadamard. 

M. Hadamard met en évidence le rôle que jouent certaines 
séries formées en appliquant à la série donnée des opérations 
fonctionnelles simples. Ces opérations, que nous désignerons par 
D et (t^, se rattachent à ce que l'on a appelé la dérivée à indice 
quelconque. Avant le jour où M. Hadamard a mis en lumière le 
rôle de ces algorithmes, on pouvait se demander s'il y avait là 
autre chose qu'une (( chinoiserie ». 

l. JS opération D. — Soit/(xj une fonction. Posons 

/(^)=Do/(:r). 
f f{x)dxr= D-i/(a7), 

En intégrant par parties l'on obtient 
Riemann (-) écrit, par définition., a étant un nombre quelconque 



(') Thèse, Journal de Math.. 1892. 

(-) Voir VEditioii allemande de ses Œuvres, ce Mémoire n'existant pas dans 
la traduction française de M. Laugel. 



SlilUKS 1)1' rilSSANCKS A UNI-: VMUMM.i:. 7'> 

On V(''ri(îo (jiic 
poui'vii c|uc l'on ail 

a, [i, a', ,3' clant des nombres négatifs. 

Soit maintenant a entier positif par définition, on pose 

et encore 

p étant <C o. 

Par là D^ c'^/ défini quel que soit le nombre réel a, et l'on 
vérifie que toujours 

D^+P=D^'+P', si a-f- p^^ a'+ î^', 

cjuels que soient a, [j, a', [5'. 

Par le cliangement de variable z = tx^ Riemann a obtenu 

1 ( ;?i H- I — a ) 

II. L opération CD. — M. Hadamard pose jc = eJ et forme le 
symbole D en regardant /(^) comme fonction de jr. C'est l'opé- 
ration cô. 

On trouve ainsi 

Gela posé, soit 
On a 

(,) ^^DV(^) = 2]""' r(»»^-.-«) ""'' 

(2) (0^/(a-) = 2«,„»i^.r"' 



';('} CHAPITRE V 

et comme on a 



r(mH-i) . , ,, 



T( m -\- \ — a ) 



l'on voit (jiie (i) et (r>.) sont absolument convergents en même 
temps. Ce sont les développements (2) que considère M. Hada- 
mard. 

111. L'ordre d'une série. — M. Hadamard introduit ensuite la 
notion d^écarl Jlni- pour une fonction réelle ou non, notion 
voisine de la notion de variation bornée de M. Jordan. Si les 
deux intégrales 

' cosnx f{x)dx, n 1 9,in nxf{x) dx 

a '^ a 

restent finies et moindres que I, (a, U) étant des limites quelconques 
intérieures à l'intervalle (a, j3), l'on dira que j\x^ est à écart fini 
et que Vécart, dans (a, (3), est F. 
On obtient alors ce théorème : 

Si la fonction f est finie, continue, à écart fini sur la cii- 
conférence de convergence, la série formée par ses coefficients 
sera absolument convergente ou bien, si elle ne V est pas, elle 
le deviendra lorscjue Von remplacera 

f{x) par LÙ-'-fix), 

£ étant positif, aussi petit que l'on veut. 

On définit alors Vordre en un point Xq de la circonférence : 
c'est un nombre ù tel que, au voisinage de Xq 

soit fini, continu, à écart fiini, mais non point 

En un point ordinaire, l'ordre est — oo. Les points singuliers 
sont seuls intéressants. Ou bien encore : Vordre est le plus petit 
nombre ù tel que 

(i — p)^/(pé"0) J 

r. / restent finies lorsque tend vers un. 

(i-p)ÛI ) 



si:hii;.s di: puissancks a uniî vaiumim:. 



77 



Nous ne pouvons iiisislcr sur ces (jucslions. Nous voulions 
nionlrci' (|uc I ('indc des S('rics 

CQ/(.r), 
se rallaclio clroiloiiKMil, à Trludc de la série 

dont le ra^ou de convergence csL u/i. 

Nous voulions aussi faire une reinar(jue iniportanle à noire 
poinl de vue. C'est même surtout en vue de celte réflexion finale 
que nous avons parlé ici du troisième Chapitre de la Thèse de 
M. Hadamard. 

Dans ce remarquable Mémoire, il est constamment supposé 
que les cocjficicnts a,n^ lorsqu'ils sont croissants, sont des fonc- 
tions de m à croissance régulière. 

Soit, par exemple, 



f{x)=^m'-x'n, 



in—l 



on a 



Œ) 



V(^) = 2'''' 



m^x"K 



qui, sur le cercle de convergence, devient 

Or une fonction qui admet une dérivée finie est à écart fini (' ), 
C'est le cas de la série précédente où 1 on fait 



car on a alors la série convergente 

y — 



H-£ 



(') Journal de Mathématiques, p. i65; 1892, 



78 ciiAPiTRii: V 

tandis que si a = — 3 i- £ il vient 



2d ///»-s' 



donc /(:r ) au point x ^ i est d'ordre 3, c'est-à-dire comparable 

à (i — .x)^'K 
De même soit 



?(-^)=2 



1 



on trouve que le point singulier un est d'ordre a, c'est-à-dire 
que ^^{x)^ en ce point, est comparable à (i — x)~-. 

Mais y et 's> ont des coefficients à croissance régulière. 

Extrayons de la première série la série 

en posant 

n = m ! m = o, I, 2, 3, .... 

Les coefficients sont donc 

i\ 9.2, (3!)-^ (4!)S .... 

Ils sont à croissance irrégulière. Dans ces conditions, l'ordre de 
la fonction F au point un n'est plus du tout 3 comme pour/. 

Les règles appliquées au cas des croissances régulières 
tombent en défaut^ tout change. 

Comparons, en effet, o et F d'après le théorème de M. Cesàro. 

Pour F la somme des (/>')' pi'cmiers coefflcients est 

1 

Pour cû la somme des {p\Y premiers coefficients est 



siùiULs i)i: i'i:issA.\(;i:s \ vs\: vauimjlk. 79 

(1 on 



Il m !-- ^ ;> Il m -^ ^ 



"V P 

'^(.7) ('tant coniparahlo à (i — x)~-^ F(.r) csL (C ordre inoLiidrc 
<ine ■>. au poiiil ////, alors f[i'<^î ./(•^■) <HaiL d'ordre. .). 

On voil combien il est urj^eiil, dans une c(ueslion <jù se pré- 
senlenl des fonctions croissantes, de discerner les croissances 
régulières des croissances irrégulières (' ). 



(') .M. J. Iladainard vient de publier un excellent Ouvrage sur la Série de 
Taylor (chez Carré, 1901), trop tard pour que nous ayons pu nous en servir |)our 
cette rédaction. 



CHAPITRE YI. 

SÉRIES A PLLSIFiURS VARIABLES. 

Séries entières. 



Soit 





les coefficients et les variables élsinl positifs. 

Pour que la série soit entière^ converge quels que soient x et j', 
il faut et il suffit que l'on ait 

plus grande limite \' v/A„i,„{ = o. 

On le voit immédiatement et directement. Gela résulte aussi du 
théorème démontré au début du paragraphe suivant. 

Nous l'admettons donc, et nous allons étudier quelques ques- 
tions relatives aux ordres en x et en y de la fonction f{x^ y). , 

Une fonction entière F(^) est d'ordre p, si Von a 

|F(s)|<e''*', 

£ étant donné aussi petit que l'on veut, r= \z\ étant pris assez 
grand (M. Nous appelons ordre total de f{x, y) l'ordre en z de 

On a d'abord ce théorème : 

TnÉORisME I. - Si y^ est une valeur particulière positive 

de y, et si 

f{^,yo) 

est une fonction entière d'ordre p en x, si V ordre totaldef^x^ y) 
est fini, V ordre de 

est encore p, quel que soit le nombre positif y ^. 



'{') E.M. BoREL, Fonctions entières, p. 6i; 1900. 



SKIUKS A PMSIKUns \ Mil V III.KS. gl 

Supposons, pur cxciiiplc, (juc Toidri; loUil soil i, c'csl-i'i-dirf^ 
(HIC, poiH" c assez i^r;in(l, on ;uL 

/( z, z) = V V a,„^, .-'"+" -: V A,„ , „z"'^" < A 6' = . 



Cela donne 



■^ /«-(-// <^ 



( //i -h /i ) ! 
Or 

( m H- /i ) ! 

(les coefficients étant positifs). 

Conservons cette inégalité (a) et cherchons-en une seconde. 
Siip[)OsonSj par exemple, pour simplifier l'exposition, que 

j)-oz=r I et cjiiey(.r, i) soit d'ordre -• 
Nous aurons donc 

/(^, i)<-e-^-<- ( e-f2 -f- e-^-^ ) < _ U > -^ L 

2 '2 -i L -^ ( 2 /?i j ! J 

d'où 

B 



(?) «/«,/i< 



( 2 /;i ) 



Nous ferons usage tantôt de (a), tantôt de ( P), suivant que l'un ou 
l'autre sera plus avantageux. 

Proposons-nous donc de trouver l'ordre de 

soit, par exemple, 

^>> 2. 

Le coefficient de x"^ sera 

11 est moindre que 

( 2 //i ; ! L ( 2 /;i -I- 1 ) 1 {ini -\- 2 ; 1 J 

On voit que pour les m premiers termes nous nous servons 
de (3), pour tous les autres de (a). 

B. 6 



82 CIIAPITIIE VI. 

Ce coefficient est moindre que 



..] 



{ini)\ b — I {•}.ni)\ y'>.tn-\- \ ('ini -h i){'i/n -h 2) 

el, pour ni assez grand, moindre que 

Mais ceci n'esf aulre chose que le coelTicient de œ'"^ dans le déve- 
loppement 

j (}[hx)- _]_ Q—[bx)- 

C'est ce que nous voulions établir. 

Nous pouvons démontrer un second théorème. 

Théorème II. — Xq et y^ étant deux valeurs positives quel- 
conques de X et y, si la fonction entière j\x^y^) est d^ ordre o 
et si f{xQ,y) est d^ ordre o', l'ordre total de f{x,j') est au plus 
é^al à p -f- p'. 

Supposons, par exemple, p = -, d'où 



i 



(I) 



(^in,n "^ 



B 



(d'après ce qui précède). 

Exprimons que l'ordre de la fonction en j^ est déterminé, par 
exemple qu'il est a pour ^' = i , ce qui donne 



«0,/t-^ <^ I, «-+-•• -'i- ''?///,«+. • •< 



(] 



n 






ou, a fortiori, 

(il) 



ce qui peut s'écrire, puisque pP est asjmplotiquement peu diflV-- 
rent de />•!, 

r: 

(II) «,;,,/,<—• 



siiiUKs A i'Li;sii:rus \ \in \hi,i:s. 8i 

^oiis cinpioicions (I)()u(II) suiviiiil les clicoiishiDccs : 

l" Sllj)|)()S()llS 



'}. ni 



Nous pouvons cc'nrc, (Taprôs (I), 



<^hn,n<, : -v < 

( '2 m ) I 



m -\- n 
l 



à coiulilion (jue l'on ail 
(III) 

2" Supposons 



m -r- // 



< '1 m ; 



n 

lin <! - 

a 



iNous pourrons écrire, d'après (II) 



G 



(tm,n< , \ < -;— 



D 



W 






à condition que Ton ail 

(IV) 



ni -\- n n 
/ a 



Or (lïl) et (IV) sont vérifiés, en tenant compte respectivement 

de (I) et (H), si l'on prend 

2 

Donc l'ordre total est au plus /, c'est-à-dire au plus égal à la 
somme des ordres en ^ et en y des fonctions entières f{x^ r„). 

Le tlicorème est établi. 

Les résultats précédents s'étendent sans peine aux fonctions 
entières de plusieurs variables; on j)eut aussi les étendre à des 
cas où l'on suppose l'ordre infini j)ar rapport à l'une des variables 
x, jK, mais où l'on donne, cependant, une limite supérieure de la 
croissance. 

Nous conviendrons de dire que l'ordre d'une fonction entière 



84 



CllAPITHi: M. 



f{z) est inférieur à o) si le module maximum croît moins vite que 



,c'»i 



que cet ordre est inférieur à oj'^ si le module maximum croît 
moins vite que 

Nous aurons, par exemple, ce théorème : 

Théorème III. — Si la fonction entière à coejfficients positifs 
est telle que 

fi^iyo) soit d'ordre p, 
f{t,t) soit d'ordre < w, 

Xq étant un nombre positif particulier, on peut affirmer que 
r ordre de f{oc^ y^ ) est égal à p quel que soit le nombre positif 

Nous avons, en effet, par hypothèse 
Posant 

il vient 



Ca< 



VI 



Cherchons le minimum du second membre. Annulons la déri- 
vée logarithmique 



d'où 



cvy < e'i 



t 



--q los/ 



car - est négligeable par rapport à log^, d'où enfin 

T » 



[On voit que l'on a allaire à (log^)^ au lieu de qf que l'on 
trouvait dans l'hypothèse d'un ordre total fini.] 



(') Comptes rendus, 23 avril 1901. — Voir \i\ A'ote de M. Emile Borel. 



si':nii:s \ i»i.rsii:riis vmuahlks. 85 

Cela posé, si l'ordre on ./• csl a pour y = i, l'ordre en x est 
eneore ///// pour )' pris (picIcoiMpic cl nous iivons 



[ !()-( /// -h n)\ 
I 



(I) '////,//< 

(II) a,n^n< 

Le coeKicienL de x"\ savoir 
est donc inférieur à 



n-\ 



(m)^ 



y" 



y 



n-\-\ 



[log(m -t- /l )]'«+" [l0g(m -^ /l + v)\in^n+\ 

Supposons, pour simplifier, 
alors le coefficient 

I + j" + j^ + • • • + y"~^ 

est inférieur à y^^ . 

Prenons maintenant /i = -, — - — ? notre coeiheient de x^^ sera 
inférieur à 



!/-« 



(m)a 



< 



< 



i" ' [log(/?i -t- /i)J'"^" 



l — 



y 



log(m H- n) 



] 



yn y,l 



y II 



puisque 






[log(/?i 4- /^)]'«^-«> (m)*. 



L'ordre en x^ pour cette valeur de r, est bien a, comme nous 
le voulions montrer. 



86 



ClIAPITRi: M, 



Il est évident que ces théorèmes et les théorèmes analogues 
relatifs au cas de n variahles, ne s'appliquent plus au cas où lea 
coefficients n'ont pas tous le même signe. Soit, par exemple, 

^{x, y)— c*'' sin-jK -+- e-^. 

On voit que o[x, n) est d'ordre i, tandis que, si jk a d'autres 
valeurs, l'ordre est 2. 

L'étude du cas j^énéral demandera que l'on pose des hypothèses 
assez compréhensives et constitue un très intéressant sujet de 
recherches; il fallait commencer par le cas des coefficients de 
même signe. 



Rayo 



ns de convergence associés. 



Nous allons, d'après un Mémoire de M. E. Lemaire ('), étudier 

la sér 

vv 



la convergence absolue de la série 






a 



p,<j 



xi'y'l. 



Nous adopterons d'ailleurs le langage relatif au domaine com- 
plexe, quoique, en principe, nous considérions seulement des 
séries à coefficients et à variables positifs. 

On sait (théorème d'Abel) que si la série est absolument con- 
vergente au point (j^oO^")' ^''^ Vesi encore en tout point (jr,r) 
si l'on a 



•27 "^ -^0 



rl<l7o! 



Soient O et O' les origines dans les plans x et y: G et d deux 
circonférences de centres O et O' et de rayons /• et / '. 

Nous dirons que les deux cercles forment un système de 
cercles de convergence si la série converge absolument en tout 
point (:c, j^), tel que x soit dans l'intérieur de G et y dans l'inté - 
rieur de G'. 

/• et r' seront dits rayons de convergence associés. 

M. Lemaire se propose d'obtenir des ravons associés dont le 
rapport soit un nombre donné K. 



(') Bulletin des Sciences niatkëniatiques; 1896. 



SKiurs V l'i.rsiKi us \ \ui\i»i,i:s. 87 

Soil une siiilc à deux indices 

• • • , ''/'.vi • • • . 

<'l (MinsidcTons les Iciinos l<ds ([iic Ton ait 

La plus «grande drs liiniles, dans ces conditions, pour // z= co, 
sera le plus grand élcincnl il de l'ensemble dérivé {voi/- p. 10). 

INenons, dans ces condilions (c'esl-à-(Jire posant p -\- q = n 
et // croissant indéfiniment), la plus grande des limites de 



Soit )^(Iv) cette plus grande limite. On a ce théorème 
TuKOTiÈ.AïK. — Les deux nombres 



/■ = — -, ' ^ 



X(K)' X(Iv; 

constituent, quel que soit K, un système de rayons associés; 
et Von a 

"(S)-- 

En effet, dès que l'on a /i >> N, il en résulte 
£ tendant vers zéro lorsque N devient infini. Or, ceci donne 

ce qui prouve la convergence absolue pour 



l7l< 



A 4- 

K 



et la divergence si les deux inéçralités ci-dessus sont renversées. 
Enfin, éliminant K entre les deux équations qui donnent r, /'', 



88 ciiAPiTRi: VI. 

on obtient la relation annoncée entre /• et /'. Le théorème de 
INI. Lemaire est démontré. 

Si run des points x, y vient snr la eirconférence de son cercle 

(le convergence, il j a doute relativement à la convergence de la 

série ^2 ^/'//^O'''- 

Il peut arriver, d'ailleurs, qu'à une valeur de r corresponde une 
iiifinilé de valeurs de /'. 

Soit, par exemple, la série de Mac Laurin correspondant à la 
fonction 

I 
{\ — x)\'i—y)' 

on a des raj'ons associés en prenant 
ou bien 



ou bien 



/• 


= f, 


/' 


< ■>-, 


r 


< ', 


r 


' ^^ 1. 



En ce cas, l'élimination de K est faite d'avance. 
Cette analyse s'étend de suite aux séries 

SoitA(K|,K2, ..., K/_, ) la plus grande des limites de 

pour 

les (i — i) lettres K représentant des nombres donnés arbitraires, 
on a i /ayons associés domiés par 

Kl ~ K, ~ T ~ X 

avec 






SKUIKS A PLUSIEURS VARIAULKS. 



89 



Sé/'t\'s syii ta ^m a I kj n es . 
Considérons une série r('elle 

et éludions la zone de convergence, c'est-à-dire l'aire du plan des 
xy où peuvent se mouvoir x et^, de manière cjue la série con- 
verge toujours. 

Nous pouvons d'abord j)rcndro un nombre de termes de [)lus en 
plus grand, sans aucune loi pour la formation du groupe, et voir 
s'il j a, dans ces conditions, une limite pour la somme : ce sera le 
groupement selon le mode A. 

INous pouvons, en second lieu, étudier la convergence de la 
série des groupes homogènes : ce sera le groupement selon le 
mode B. 

Nous pouvons, enfin, ordonner la série double selon les puis- 
sances de V une des variables : ce sera le groupement selon le 
mode C. 

Les trois modes A, B, G ne donnent pas, en général, la même 
zone de convergence. 

Soit, par exemple, la série de développement de 



^-^—y 



Le mode A donne 



(«) 



n 



p\q\ 



xP y'i 



Le mode B donne 

(6) n-(a7+jO-H 

Le mode G donne enfin 

1 \ 1 

\ I — ./• (i .r)^ (I- 

(c) 



(p^ rj = n). 



( X -hv)'^ 



- ./• (i - x)'- (I — X y^ 



()o ciiAi'iTr.i; VI. 

Noms voyons que (rM converge si l'on a 

I .-r I -h I _/ I < I 
cl (b) converge si l'on a 

I^ + j! <'; 

(c) converge si l'on a, à la fois. 

Il — X \ 

\.x I < I . 

Gauchy avait remarqué ces failscjui rendent si difflci/e l'étude 
des séries à plusieurs variables. 

[l di^\)eW\l synla gmatir/ues les séries telles que celle qui pré- 
cède, convergentes avec le mode C dans des régions où, par les 
modes de groupement A et B, elles divergeraient, l^es dessins 
ci-après montrent les zones de convergence A, B, C. 

Fi;;. 3. 




Ces remarques de Caucliy prennent une très grande importance 
lorsqu'on les rapproche des reclierclies récentes de M. Mitlag- 
Leffler sur le prolongement analvlique. Par nue méthode cpii lui 
est personnelle et complètement indépendante des lra\au\ de 
Cauchy, M. Mittag-Leffler est arrivé à des résultats de la plus haute 
importance, précisément au moyen d'un groupement convenable 
des termes dans des séries multiples à plusieurs variables. Mais 



si:nii;s \ i-iisiiius v \iti Mti.i.s. «)i 

nous (l(^\()ns nous honicr ;'i ces hrrxcs i ii<l iciil ions, cnr ['('iliidc «le 




Fig. 5. 




ces travaux nous éloignerait trop de notre sujet (' ). 



(') Voir Mittag-Lei FLER, Acta Mathematica, t. XXIII et XXIV; FlADAMARn. 
La série de Taylor et son prolongement analytique; T3orel, Leçons sur les 
séries divergentes, Cliap. VI. 



FIN. 



TAhLK DES MATIÈRES. 



Pascs. 

Phéfaci; V 

INDKX VII 

CiiAPiTRi': I. — Convergence des séries à ternies positifs i 

Gcticralilcs i 

Forninlion de n"ilèrcs de première espèce 3 

Fornialioii de critères de seconde espèce 6 

Elude des critères de Bertrand 9 

Théorèmes de Paul du lîois-neyinond 12 

Conditions nécessaires de convergence 17 

CiiAriTRE II. — Convergence des intégrales 21 

Généralités 21 

Intégrale d'une fonction décroissante 22 

Critères de Bertrand, de M. ErmakolT 22 

Théorème de Paul du Bois-Beymond 25 

Types continus et types discontinus de croissance 29 

Chapitre III. — Esquisse d'une théorie de la croissance 82 

Les croissances irrégulières 82 

Sur les ordres d'infinitude 35 

Les croissances régulières 4^ 

Les critères de convergence et la théorie de la croissance 4? 

Chapitre IV. — Séries et intégrales multiples 5i 

Séries multiples 5i 

Intégrales multiples 5'j 

Chapitre V. — Séries de puissances à une variable 07 

Convergence des séries à une variable 57 

Fonctions entières 58 

Cas du rayon de convergence fini 65 

Étude directe et comparaison avec une méthode proposée par !M. Le 

Boy 69 

Les travaux de iM. Hadamard 74 

Chapitre VI. — Séries à plusieurs variables 81 

Séries entières , 81 

Rayons de convergence associés 86 

Séries syntagmatiques 8g 



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Borel 

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thématiques. In-4 (28-23) autographié de vi-j 84 pages; 1898. , • 

APPELL (Paul), Membre de l'Institut, Professeur à l'Université de Parih. 
et LACOOR (Emile), Maître de Conférences à l'Université de Nànc\^._ 
Principes de la Théorie des Fonctions elliptiques et appliÇfttions| 

ln-8 (25-16), avec figures ; 1896 - '^ ^^^''^ 

BAIRE (René), Professeur à la Faculté des Sciences de Dijon. — LeçQns 
sur les Théories générales de l'Analyse. 2 volumes in-8 (25-16; se 
vendant séparément. 

Tome l. Principes fondamentau,Jc. F aria blés réelles. Voliinic ut 
x-232 pages, avec 17 figures; 1907 • • ••• » ,. ^,"- 

Tome IL Variables complexes. Applications géométriques. Volume. de 
x-347 pages, avec 52 figures; 1908 ï^ ^ 

DARBOUX (Gaston), Membre de l'Insiiiut, Doyen de la Faculté de^ 
Sciences et Professeur de Géométrie supérieure à l'Université dç 4 ans. 

— Leçons «ur les systèmes orthogonaux et les coordonnées cuîvi-, 
ligues. 2*édition. In-8(25-iG),de vn-567 pages avec figures; 1910. ^«^f- 

GOURSAT (Edouard), Professeur à la Faculté des Sciences de Pèris, ~ 
Cours d'Analyse mathématique. (Cours de la Faculté des Scieftçes dri 
Paris.) 2* édition. 3 volumes in-8 (25-16). 
Tome L Dérivées et différentielles. Intégrales définies Développenie"i< 
en séries. Applications géométriques . Volume de vili-646 pa, 

avec 45;figures; 1910... • ^,20 ti\- 

ToMK II. Théorie des fonctions analytiques. Équa; ions différentielles. 

Volume de iv-648 pages, avec 89 ligures ; 191 1 , . , ... 

Tome ni : Intégrales infiniment voisines. Equations aux dérivées 
partielles du second ordre . Équations intégrales. Calcul des varia- 
tions. Prix pour les' souscripteurs. . 20 fc;* 

(Deux fascicules formant 544 pages, ont paru .) 

ROUCHÉ (Eugène), Membre de l'Institut, Professeur au Conservatoire de^ 
Arts et Métiers, Examinateur de sortie à l'Ecole PolytechnM|uè, e' 
LÉVY (Lucien), Képétiteur d'Analyse et Examinateur d'admigstorr : 
l'Ecole Polytechnique. — Analyse infinitésimale à l'usage des Ingé- 
nieurs. 2 volumes in-8 (25- 16) se vendant séparément : - - 
Tome I : Calcul différentiel. iOenVee^e/ différentieUes. Changements 
de variables. Séries. Formules de Taylor. Courbes planes et gauches 
Surfaces. Congmences. Complexes. Lignes tracées sur les surfaces. 

Volume de viii-557 pages, avec 45 figures ; 1900 

Tome II : Calcul intégral. Intégrales indéfinies et définies. 
Séries de Fourier. Fondions elliptiques. Equations dij(férentielle. 
ordinaires et aux dérivées partielles. Calcul des variations. Voîum 
de xii-648 p^ges, avec 5o figures; 1903 - i'> '' 

54786 Paris. — Imprimerie Gauthier- VilUrs et C", 55, quai des Grands-Aggustina, 



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